Math
Гіперболічна геометрія
Диск Пуанкаре і гіперболоїд: замощення, яким ніколи не тісно, що ковзають ізометріями.
Що відбувається
На підлозі - диск Пуанкаре: вся гіперболічна площина всередині кола, до краю - нескінченно далеко. Правильний p-кутник по q у кожній вершині замощує її, коли 1/p + 1/q < 1/2 - {7,3}, {5,4}, {4,5}, {3,7}, - і замощення тут побудоване відбиттям центральної плитки через її ребра, нічого не розставлено руками. У всіх плиток одна площа - кутовий дефект (p − 2)π − 2πp/q, а число плиток у шарі росте геометрично: це і є кривина −1. Замощення тече: мебіусів зсув ковзає ним, плитки спливають від краю і йдуть назад, і жодне ребро не змінює своєї гіперболічної довжини. Угорі ті самі плитки, підняті на гіперболоїд x² + y² − t² = −1 - та сама площина, інша модель, - і лінії з точки проєкції зв'язують плитку з її образом.
Рівняння модуля
Рівняння
{p, q} замощує гіперболічну площину, коли 1/p + 1/q менше за 1/2 (дорівнює: евклідова; більше: сферична)
cosh R = cot(π/p) · cot(π/q) (радіус описаного кола плитки)
площа = (p − 2)π − 2πp/q (кутовий дефект; кривина −1)
d(z, w) = 2 artanh |(z − w) / (1 − conj(z) w)|; z → (z − a)/(1 − conj(a) z) зберігає відстань
гіперболоїд: x² + y² − t² = −1, d = acosh(t t′ − x x′ − y y′)
