Math
Geometría hiperbólica
El disco de Poincaré y el hiperboloide: teselados a los que nunca les falta sitio, deslizándose por isometrías.
Qué ocurre
En el suelo, el disco de Poincaré: todo el plano hiperbólico dentro de un círculo, con el borde infinitamente lejos. Un p-ágono regular con q en cada esquina lo tesela siempre que 1/p + 1/q < 1/2 – {7,3}, {5,4}, {4,5}, {3,7} –, y el teselado aquí se construye reflejando la tesela central en sus aristas, nada colocado a mano. Todas las teselas tienen la misma área, el defecto angular (p − 2)π − 2πp/q, y las teselas por capa crecen geométricamente: eso es curvatura −1. El teselado fluye: una traslación de Möbius lo desliza, las teselas surgen del borde y vuelven a hundirse, y ninguna arista cambia nunca su longitud hiperbólica. Arriba, las mismas teselas elevadas al hiperboloide x² + y² − t² = −1 – el mismo plano, otro modelo –, con líneas desde el punto de proyección uniendo cada tesela con su imagen.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones
{p, q} tesela el plano hiperbólico cuando 1/p + 1/q es menor que 1/2 (igual: euclídeo; mayor: esférico)
cosh R = cot(π/p) · cot(π/q) (radio circunscrito de una tesela)
área = (p − 2)π − 2πp/q (el defecto angular; curvatura −1)
d(z, w) = 2 artanh |(z − w) / (1 − conj(z) w)|; z → (z − a)/(1 − conj(a) z) la deja invariante
hiperboloide: x² + y² − t² = −1, d = acosh(t t′ − x x′ − y y′)
