Math
Géométrie hyperbolique
Le disque de Poincaré et l'hyperboloïde : des pavages qui ne manquent jamais de place, glissant par isométries.
Ce qui se passe
Au sol, le disque de Poincaré : tout le plan hyperbolique dans un cercle, le bord infiniment loin. Un p-gone régulier, q à chaque sommet, le pave dès que 1/p + 1/q < 1/2 – {7,3}, {5,4}, {4,5}, {3,7} –, et le pavage ici est construit par réflexion de la tuile centrale sur ses arêtes, rien n'est placé à la main. Chaque tuile a la même aire, le défaut angulaire (p − 2)π − 2πp/q, et les tuiles par couche croissent géométriquement : c'est la courbure −1. Le pavage coule : une translation de Möbius le fait glisser, les tuiles montent du bord et y redescendent, et aucune arête ne change jamais de longueur hyperbolique. Au-dessus, les mêmes tuiles relevées sur l'hyperboloïde x² + y² − t² = −1 – le même plan, un autre modèle –, avec des lignes depuis le point de projection reliant chaque tuile à son image.
Équations du module
Équations
{p, q} pave le plan hyperbolique lorsque 1/p + 1/q est inférieur à 1/2 (égal : euclidien ; supérieur : sphérique)
cosh R = cot(π/p) · cot(π/q) (rayon circonscrit d'une tuile)
aire = (p − 2)π − 2πp/q (le défaut angulaire ; courbure −1)
d(z, w) = 2 argth |(z − w) / (1 − conj(z) w)| ; z → (z − a)/(1 − conj(a) z) la conserve
hyperboloïde : x² + y² − t² = −1, d = acosh(t t′ − x x′ − y y′)
