Math
Гиперболическая геометрия
Диск Пуанкаре и гиперболоид: замощения, которым никогда не тесно, скользящие изометриями.
Что происходит
На полу - диск Пуанкаре: вся гиперболическая плоскость внутри окружности, до края - бесконечно далеко. Правильный p-угольник по q в каждой вершине замощает её, когда 1/p + 1/q < 1/2 - {7,3}, {5,4}, {4,5}, {3,7}, - и замощение здесь построено отражением центральной плитки через её рёбра, ничего не расставлено руками. У всех плиток одна площадь - угловой дефект (p − 2)π − 2πp/q, а число плиток в слое растёт геометрически: это и есть кривизна −1. Замощение течёт: мёбиусов сдвиг скользит им, плитки всплывают от края и уходят обратно, и ни одно ребро не меняет своей гиперболической длины. Наверху те же плитки, поднятые на гиперболоид x² + y² − t² = −1 - та же плоскость, другая модель, - и линии из точки проекции связывают плитку с её образом.
Уравнения модуля
Уравнения
{p, q} замощает гиперболическую плоскость, когда 1/p + 1/q меньше 1/2 (равно: евклидова; больше: сферическая)
cosh R = cot(π/p) · cot(π/q) (радиус описанной окружности плитки)
площадь = (p − 2)π − 2πp/q (дефект углов; кривизна −1)
d(z, w) = 2 artanh |(z − w) / (1 − conj(z) w)|; z → (z − a)/(1 − conj(a) z) сохраняет его
гиперболоид: x² + y² − t² = −1, d = acosh(t t′ − x x′ − y y′)
