Math
Geometria iperbolica
Il disco di Poincaré e l'iperboloide: tassellazioni a cui non manca mai spazio, che scivolano per isometrie.
Cosa succede
Sul pavimento, il disco di Poincaré: tutto il piano iperbolico dentro un cerchio, con il bordo infinitamente lontano. Un p-gono regolare con q a ogni vertice lo tassella ogni volta che 1/p + 1/q < 1/2 – {7,3}, {5,4}, {4,5}, {3,7} –, e la tassellazione qui è costruita riflettendo la tessera centrale sui suoi lati, niente è messo a mano. Ogni tessera ha la stessa area, il difetto angolare (p − 2)π − 2πp/q, e le tessere per strato crescono geometricamente: questa è la curvatura −1. La tassellazione scorre: una traslazione di Möbius la fa scivolare, le tessere emergono dal bordo e vi tornano, e nessun lato cambia mai la sua lunghezza iperbolica. Sopra, le stesse tessere sollevate sull'iperboloide x² + y² − t² = −1 – lo stesso piano, un altro modello –, con linee dal punto di proiezione che uniscono ogni tessera alla sua immagine.
Equazioni del modulo
Equazioni
{p, q} tassella il piano iperbolico quando 1/p + 1/q è minore di 1/2 (uguale: euclideo; maggiore: sferico)
cosh R = cot(π/p) · cot(π/q) (raggio circoscritto di un tassello)
area = (p − 2)π − 2πp/q (il difetto angolare; curvatura −1)
d(z, w) = 2 artanh |(z − w) / (1 − conj(z) w)|; z → (z − a)/(1 − conj(a) z) la conserva
iperboloide: x² + y² − t² = −1, d = acosh(t t′ − x x′ − y y′)
