Math
Geometria hiperboliczna
Dysk Poincarégo i hiperboloida: parkietaże, którym nigdy nie brak miejsca, przesuwane izometriami.
Co się dzieje
Na podłodze dysk Poincarégo: cała płaszczyzna hiperboliczna w kole, brzeg nieskończenie daleko. Foremny p-kąt, po q w każdym wierzchołku, parkietuje ją zawsze, gdy 1/p + 1/q < 1/2 – {7,3}, {5,4}, {4,5}, {3,7} – a parkietaż tutaj jest zbudowany przez odbijanie płytki środkowej w jej krawędziach, nic nie jest ułożone ręcznie. Każda płytka ma to samo pole, defekt kątowy (p − 2)π − 2πp/q, a liczba płytek w warstwie rośnie geometrycznie: to właśnie krzywizna −1. Parkietaż płynie: przesunięcie Möbiusa go przesuwa, płytki wynurzają się z brzegu i zapadają z powrotem, a żadna krawędź nigdy nie zmienia swej hiperbolicznej długości. Powyżej te same płytki podniesione na hiperboloidę x² + y² − t² = −1 – ta sama płaszczyzna, inny model – z liniami z punktu rzutowania łączącymi płytkę z jej obrazem.
Równania modułu
Równania
{p, q} wyznacza kafelkowanie płaszczyzny hiperbolicznej, gdy 1/p + 1/q jest mniejsze od 1/2 (równe: euklidesowa; większe: sferyczna)
cosh R = cot(π/p) · cot(π/q) (promień okręgu opisanego na kafelku)
pole = (p − 2)π − 2πp/q (defekt kątowy; krzywizna −1)
d(z, w) = 2 artanh |(z − w) / (1 − conj(z) w)|; z → (z − a)/(1 − conj(a) z) zachowuje tę odległość
hiperboloida: x² + y² − t² = −1, d = acosh(t t′ − x x′ − y y′)
