Math
Hyperbolische Geometrie
Poincaré-Scheibe und Hyperboloid: Parkettierungen, denen nie der Platz ausgeht, verschoben durch Isometrien.
Was passiert
Auf dem Boden die Poincaré-Scheibe: die ganze hyperbolische Ebene in einem Kreis, der Rand unendlich weit weg. Ein regelmäßiges p-Eck, q an jeder Ecke, parkettiert sie, wann immer 1/p + 1/q < 1/2 – {7,3}, {5,4}, {4,5}, {3,7} –, und die Parkettierung hier entsteht durch Spiegelung der Mittelkachel an ihren Kanten, nichts ist von Hand gesetzt. Jede Kachel hat dieselbe Fläche, den Winkeldefekt (p − 2)π − 2πp/q, und die Kacheln je Schicht wachsen geometrisch: das ist Krümmung −1. Die Parkettierung fließt: eine Möbius-Verschiebung gleitet sie, Kacheln steigen vom Rand auf und sinken zurück, und keine Kante ändert je ihre hyperbolische Länge. Darüber dieselben Kacheln, gehoben auf das Hyperboloid x² + y² − t² = −1 – dieselbe Ebene, ein anderes Modell –, und Linien vom Projektionspunkt verbinden Kachel und Bild.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen
{p, q} pflastert die hyperbolische Ebene, wenn 1/p + 1/q unter 1/2 liegt (gleich: euklidisch; darüber: sphärisch)
cosh R = cot(π/p) · cot(π/q) (Umkreisradius einer Kachel)
Fläche = (p − 2)π − 2πp/q (der Winkeldefekt; Krümmung −1)
d(z, w) = 2 artanh |(z − w) / (1 − conj(z) w)|; z → (z − a)/(1 − conj(a) z) lässt ihn unverändert
Hyperboloid-Modell: x² + y² − t² = −1, d = acosh(t t′ − x x′ − y y′)
