Math
Knoten
Torusknoten und -verschlingungen: die Kleeblattschlinge, die Fünfblattschlinge, Salomons Knoten und die Kreuzungen, die ein Bild nicht loswird.
Was passiert
Wickelt man eine Kurve p-mal um das Loch eines Torus und q-mal um seine Röhre, hat man T(p, q): einen Knoten, wenn p und q keinen gemeinsamen Teiler haben, eine Verschlingung aus ggT(p, q) Teilen, wenn doch. Das Bild hier zählt seine eigenen Kreuzungen für jede Kameraansicht, und die Zahl fällt nie unter min(p(q − 1), q(p − 1)) – das ist eine Invariante. Schaut man genau entlang der Torusachse, landet sie auf dem Minimum. Vertauscht man p und q, ändert sich das Bild, der Knoten nicht, und die Invarianten sagen es. Eine Perle läuft die ganze Kurve ab und zeigt, dass sie eine ist; jede Komponente einer Verschlingung hat ihre eigene Farbe und Perle.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen T(p, q): x = (R + r cos qt) cos pt, y = (R + r cos qt) sin pt, z = r sin qt Komponenten = gcd(p, q); Kreuzungszahl c = min(p(q − 1), q(p − 1)) Geschlecht = (p − 1)(q − 1)/2; Δ(t) = (t^pq − 1)(t − 1) / ((t^p − 1)(t^q − 1)) T(p, q) = T(q, p): derselbe Knoten, ein anderes Bild
