Math
Wstęga Möbiusa
Jedna strona, jedna krawędź i mrówka, która wraca odbita: maluje wstęgę, idąc linią środkową, a po jednym okrążeniu wstęgi Möbiusa maluje to, co wyglądało na drugą stronę.
Co się dzieje
Wstęga z k półobrotami wisi w przestrzeni; k = 1 to wstęga Möbiusa. Narysowana jest jako dwie skóry o włos od siebie, po jednej z każdej strony powierzchni, żeby obie strony dało się malować różnie - a płaska mrówka idzie linią środkową z pędzlem, malując skórę, na której stoi. Na wstędze Möbiusa po jednym okrążeniu mrówka jest na drugiej skórze, choć nigdy nie opuściła powierzchni, a po dwóch okrążeniach pomalowane są obie: „dwie” strony były jedną. Na wstędze z parzystą liczbą półobrotów druga skóra zostaje goła na zawsze. Mrówka niesie strzałkę do przodu, w lewo i w górę; po okrążeniu nieparzystej wstęgi przód jest ten sam, a lewo wskazuje w drugą stronę - została odbita, i panel drukuje wyznacznik jej układu, −1. Krawędź świeci jako własna krzywa: jedna krzywa na dwa okrążenia dla nieparzystego k, dwie dla parzystego, z biegaczem, który ją obiega. Panel liczy strony i krawędzie na siatce wstęgi, nie z k: próbuje spójnie zorientować każdy płat (to zawodzi dokładnie wtedy, gdy powierzchnia jest jednostronna) i łączy krawędzie brzegowe w krzywe. Cięcie wzdłuż linii środkowej zostawia JEDEN kawałek, dwa razy dłuższy i dwustronny; cięcie w jednej trzeciej szerokości zostawia węższą wstęgę Möbiusa i dwustronną wstęgę, a całka Gaussa mówi, że są splecione raz. Krzywizna pod mrówką też jest mierzona: wszędzie ujemna, −(k/2)² na linii środkowej - ta wstęga jest wygięta, papierowa jest płaska.
Równania modułu
Równania P(u, v) = ((R + v·cos(ku/2))·cos u, (R + v·cos(ku/2))·sin u, v·sin(ku/2)), u z przedziału [0, 2π), v z przedziału [−w, w], k półskrętów (k = 1: wstęga Möbiusa) szew: P(u + 2π, v) = P(u, (−1)^k·v); normalna po jednym okrążeniu: N(2π) = (−1)^k·N(0) płaska mrówka niosąca (przód, lewo): przód → przód, lewo → (−1)^k·lewo - wyznacznik (−1)^k, odbicie lustrzane dla nieparzystego k krawędź v = w: zamyka się po 4π dla nieparzystego k (JEDNA krawędź), po 2π dla parzystego k (dwie krawędzie); χ = V − E + F = 0 dla każdego k cięcie wzdłuż rdzenia: nieparzyste k → jedna dwustronna wstęga (dwa razy dookoła), parzyste k → dwie wstęgi; cięcie przy w/3 na wstędze Möbiusa → cieńsza wstęga Möbiusa + dwustronna wstęga, splecione raz liczba zaczepienia Gaussa: |Lk(krawędź, rdzeń)| = k dla nieparzystego k; k/2 dla każdej krawędzi, gdy k jest parzyste krzywizna Gaussa na linii rdzenia: K = −(k/2)²/R² (−1/4 dla wstęgi Möbiusa; sparametryzowana wstęga nie jest płaska, papier jest)
