Math
Ruban de Möbius
Un côté, un bord, et une fourmi qui revient en miroir : elle peint le ruban en suivant la ligne médiane, et après un tour du ruban de Möbius elle peint ce qui semblait l'autre côté.
Ce qui se passe
Un ruban à k demi-tours flotte dans l'espace ; k = 1 est le ruban de Möbius. Il est dessiné comme deux peaux à un cheveu l'une de l'autre, une de chaque côté de la surface, pour que les deux côtés puissent être peints différemment - et une fourmi plate suit la ligne médiane avec un pinceau, peignant la peau sur laquelle elle marche. Sur le ruban de Möbius, après un tour, la fourmi est sur l'autre peau sans avoir quitté la surface, et après deux tours les deux peaux sont peintes : les « deux » côtés n'en faisaient qu'un. Sur un ruban à nombre pair de demi-tours, la seconde peau reste nue à jamais. La fourmi porte une flèche vers l'avant, une vers la gauche et une vers le haut ; après un tour sur un ruban impair, l'avant est le même et la gauche pointe de l'autre côté - elle a été mise en miroir, et le panneau imprime le déterminant de son repère, −1. Le bord brille comme une courbe à part : une courbe de deux tours pour k impair, deux courbes pour k pair, avec un coureur qui en fait le tour. Le panneau compte côtés et bords sur un maillage du ruban, pas d'après k : il tente d'orienter chaque facette de façon cohérente (cela échoue exactement quand la surface n'a qu'un côté) et raccorde les arêtes de bord en courbes. Une coupe le long de la ligne médiane laisse UN morceau deux fois plus long et à deux côtés ; une coupe au tiers de la largeur laisse un ruban de Möbius plus étroit et un ruban à deux côtés, et l'intégrale de Gauss dit qu'ils sont enlacés une fois. La courbure sous la fourmi est mesurée aussi : négative partout, −(k/2)² sur la ligne médiane - ce ruban est courbé, un ruban de papier est plat.
Équations du module
Équations P(u, v) = ((R + v·cos(ku/2))·cos u, (R + v·cos(ku/2))·sin u, v·sin(ku/2)), u dans [0, 2π), v dans [−w, w], k demi-tours (k = 1: Möbius) raccord : P(u + 2π, v) = P(u, (−1)^k·v) ; normale après un tour : N(2π) = (−1)^k·N(0) fourmi plate transportant (avant, gauche) : avant → avant, gauche → (−1)^k·gauche - déterminant (−1)^k, image miroir pour k impair bord v = w : se ferme après 4π pour k impair (UN seul bord), après 2π pour k pair (deux bords) ; χ = V − E + F = 0 pour tout k coupe le long de l'âme : k → une seule bande à deux faces (deux fois autour) si k est impair, k → deux bandes si k est pair ; coupe à w/3 sur le ruban de Möbius → un ruban de Möbius plus étroit + une bande à deux faces, enlacées une fois enlacement de Gauss : |Lk(bord, âme)| = k pour k impair ; k/2 pour chaque bord lorsque k est pair courbure de Gauss sur la ligne médiane : K = −(k/2)²/R² (−1/4 pour le ruban de Möbius ; le ruban paramétré n'est pas plat, le papier l'est)
