Math
Banda de Möbius
Un lado, un borde y una hormiga que vuelve reflejada: pinta la banda mientras recorre la línea central, y tras una vuelta a la banda de Möbius está pintando lo que parecía el otro lado.
Qué ocurre
Una banda con k medias vueltas cuelga en el espacio; k = 1 es la banda de Möbius. Está dibujada como dos pieles separadas un pelo, una a cada lado de la superficie, para que los dos lados puedan pintarse distinto - y una hormiga plana recorre la línea central con un pincel, pintando la piel sobre la que está. En la banda de Möbius, tras una vuelta la hormiga está en la otra piel sin haber dejado la superficie, y tras dos vueltas las dos pieles están pintadas: los "dos" lados eran uno. En una banda con un número par de medias vueltas la segunda piel queda desnuda para siempre. La hormiga lleva una flecha hacia delante, una a la izquierda y una hacia arriba; tras una vuelta en una banda impar, delante es lo mismo y la izquierda apunta al otro lado - ha sido reflejada, y el panel imprime el determinante de su marco, −1. El borde brilla como curva propia: una curva de dos vueltas si k es impar, dos curvas si es par, con un corredor que lo recorre. El panel cuenta lados y bordes sobre una malla de la banda, no a partir de k: intenta orientar cada parche de forma consistente (eso falla exactamente cuando la superficie tiene un solo lado) y une las aristas del borde en curvas. Un corte a lo largo de la línea central deja UNA pieza el doble de larga y con dos lados; un corte a un tercio de la anchura deja una banda de Möbius más estrecha y una banda de dos lados, y la integral de Gauss dice que están enlazadas una vez. La curvatura bajo la hormiga también se mide: negativa en todas partes, −(k/2)² en la línea central - esta banda está curvada; una de papel es plana.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones P(u, v) = ((R + v·cos(ku/2))·cos u, (R + v·cos(ku/2))·sin u, v·sin(ku/2)), u en [0, 2π), v en [−w, w], k medias torsiones (k = 1: Möbius) costura: P(u + 2π, v) = P(u, (−1)^k·v); normal tras una vuelta: N(2π) = (−1)^k·N(0) hormiga plana que lleva (adelante, izquierda): adelante → adelante, izquierda → (−1)^k·izquierda - determinante (−1)^k, reflejada para k impar borde v = w: se cierra tras 4π para k impar (UN solo borde), tras 2π para k par (dos bordes); χ = V − E + F = 0 para todo k corte a lo largo del núcleo: si k es impar, k → una banda de dos caras (dando dos vueltas); si k es par, k → dos bandas; corte a w/3 en la banda de Möbius → una banda de Möbius más delgada + una banda de dos caras, enlazadas una vez número de enlace de Gauss: |Lk(borde, núcleo)| = k para k impar; k/2 para cada borde cuando k es par curvatura de Gauss en la línea central: K = −(k/2)²/R² (−1/4 para la banda de Möbius; la banda parametrizada no es plana, el papel sí)
