Math
Nastro di Möbius
Un lato, un bordo e una formica che torna riflessa: dipinge il nastro mentre percorre la linea mediana, e dopo un giro sul nastro di Möbius sta dipingendo quello che sembrava l'altro lato.
Cosa succede
Un nastro con k mezzi giri è sospeso nello spazio; k = 1 è il nastro di Möbius. È disegnato come due pelli a un pelo di distanza, una per lato della superficie, così che i due lati si possano dipingere in modo diverso - e una formica piatta percorre la linea mediana con un pennello, dipingendo la pelle su cui sta. Sul nastro di Möbius dopo un giro la formica è sull'altra pelle senza aver mai lasciato la superficie, e dopo due giri entrambe le pelli sono dipinte: i "due" lati erano uno. Su un nastro con un numero pari di mezzi giri la seconda pelle resta nuda per sempre. La formica porta una freccia in avanti, una a sinistra e una in alto; dopo un giro su un nastro dispari l'avanti è lo stesso e la sinistra punta dall'altra parte - è stata riflessa, e il pannello stampa il determinante del suo riferimento, −1. Il bordo brilla come curva propria: una curva di due giri per k dispari, due curve per k pari, con un corridore che lo percorre. Il pannello conta lati e bordi su una mesh del nastro, non da k: prova a orientare ogni tassello in modo coerente (fallisce esattamente quando la superficie ha un solo lato) e unisce gli spigoli di bordo in curve. Un taglio lungo la linea mediana lascia UN pezzo lungo il doppio e a due lati; un taglio a un terzo della larghezza lascia un nastro di Möbius più sottile e un nastro a due lati, e l'integrale di Gauss dice che sono concatenati una volta. Anche la curvatura sotto la formica è misurata: negativa ovunque, −(k/2)² sulla linea mediana - questo nastro è curvo, uno di carta è piatto.
Equazioni del modulo
Equazioni P(u, v) = ((R + v·cos(ku/2))·cos u, (R + v·cos(ku/2))·sin u, v·sin(ku/2)), u in [0, 2π), v in [−w, w], k mezze torsioni (k = 1: Möbius) cucitura: P(u + 2π, v) = P(u, (−1)^k·v); normale dopo un giro: N(2π) = (−1)^k·N(0) formica piatta che trasporta (avanti, sinistra): avanti → avanti, sinistra → (−1)^k·sinistra - determinante (−1)^k, speculare per k dispari bordo v = w: si chiude dopo 4π per k dispari (UN solo bordo), dopo 2π per k pari (due bordi); χ = V − E + F = 0 per ogni k taglio lungo l'anima: dispari k → una banda a due facce (due giri), pari k → due bande; taglio a w/3 sul nastro di Möbius → un nastro di Möbius più sottile + una banda a due facce, allacciate una volta allacciamento di Gauss: |Lk(bordo, anima)| = k per k dispari; k/2 per ciascun bordo quando k è pari curvatura di Gauss sulla linea dell'anima: K = −(k/2)²/R² (−1/4 per il nastro di Möbius; il nastro parametrizzato non è piatto, la carta sì)
