Math
Surfaces minimales
Caténoïde, hélicoïde, Enneper, Scherk, Schwarz P et le gyroïde : les formes où se pose un film de savon.
Ce qui se passe
Un film de savon se rétracte autant qu'il peut, et la forme où il se pose a une courbure moyenne nulle en tout point : courbée d'un côté exactement autant que de l'autre. Quatre de ces surfaces viennent de données de Weierstrass, et tourner l'angle de Bonnet θ mène chacune à travers sa famille associée sans le moindre étirement – le caténoïde s'enroule en hélicoïde à θ = π/2, chaque distance sur le film étant conservée, et le panneau mesure H en un point de la surface, en direct, et il reste nul. La couleur est la courbure de Gauss, cyan où le film est presque plat, magenta où la selle est la plus aiguë. Schwarz P et le gyroïde sont découpés dans leurs surfaces de niveau par tétraèdres marchants ; ce sont les approximations des manuels, et le panneau imprime de combien elles manquent H = 0.
Équations du module
Équations H = (κ₁ + κ₂)/2 = 0 (minimale : la courbure moyenne s'annule partout) X(ζ) = Re( e^(iθ) ∫ ( f(1 − g²)/2, i f(1 + g²)/2, f g ) dζ ) (Weierstrass–Enneper) caténoïde → hélicoïde : θ de 0 à π/2, avec E, F, G inchangés (Bonnet, une isométrie) Enneper: x = Re(ζ − ζ³/3), y = Re(i(ζ + ζ³/3)), z = Re(ζ²) Scherk : z = ln(cos y / cos x) ; gyroïde ≈ sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0
