Earth
Океанические круговороты
Посмотрите сверху на океанский бассейн, разложенный, как рельефный стол на солнце, и дайте ветрам привести его в движение: пассаты на юге и западные ветры на севере закручивают море в круговорот, а поскольку параметр Кориолиса растёт к северу, обратный поток не растекается по океану, а сжимается в узкое быстрое течение вдоль западного берега, подобное Гольфстриму, тогда как вся внутренняя область медленно ползёт на юг со свердруповским переносом. Буи и суда плывут с течением, а уровень моря выше всего в центре круговорота. Выключите β-эффект — и круговорот станет симметричным; усильте трение или перейдите на более высокую широту — и западное течение расширится как r/β или как (A/β)^(1/3) с вязкостью Манка; добавьте субполярный круговорот; остановите ветер и смотрите, как круговорот затухает. Точное решение Стоммела стоит рядом с числами, а работа ветра уравновешивает трение с точностью до округления.
Что происходит
Квадратный бассейн шириной 3000 км около 30° с. ш. на β-плоскости, β = 2Ω cos φ/R = 1,98×10^-11 1/(м·с). Проинтегрированное по глубине уравнение вихря для функции тока полного потока ψ (U = −∂ψ/∂y, V = ∂ψ/∂x) приводится в действие ротором зонального ветра τ = −τ0 cos(πy/L): пассаты на юге и западные ветры на севере (cos(2πy/L) для двух круговоротов), τ0 = 0,1 Н/м². Модель Стоммела тормозит его донным трением r (время затухания 1/r = 10 суток), модель Манка — боковой вязкостью A = 2000 м²/с с условием прилипания у берегов. ψ — сумма синусоидальных мод по направлению север–юг, поэтому линейная задача точно разделяется; разности второго порядка по направлению восток–запад на 128 ячейках, неявный метод средней точки с шагом 6 часов, одно решение пятидиагональной системы на моду. Необязательный якобиан J(ψ, ∇²ψ)/H берётся в форме Аракавы на сетке в экстраполированной средней точке, а шаги укорачиваются так, чтобы самое быстрое течение проходило за шаг четверть ячейки. Через четыре месяца круговорот Стоммела переносит 12,78 Св при его точных 12,77 Св и свердруповских 15,5 Св; западное течение шириной 52 км (r/β = 58 км) идёт со скоростью 0,2 м/с, а море в центре стоит на 9,5 см выше. Ветер совершает работу 3,28 ГВт, и трение рассеивает столько же, 2rE; баланс энергии сходится с точностью 10^-12. Буи движутся со средним по глубине течением кусочно-линейной функции тока.
Что попробовать
Смотрите, как круговорот раскручивается, а западное течение сужается; сравните его перенос и ширину с замкнутой формулой Стоммела; переключитесь на постоянный параметр Кориолиса — и круговорот станет симметричным; поднимите широту или трение — и западное течение расширится; попробуйте вязкость Манка, два круговорота или остановите ветер.
Модель и её ограничения
Квадратный бассейн с плоским дном из одного однородного слоя, установившийся зональный ветер одной синусоидальной моды, либо линейное донное трение, либо лапласова вязкость, свободное проскальзывание у северного и южного берегов; без стратификации, без термохалинной циркуляции, без вихрей мельче сетки. Трение Стоммела здесь достаточно сильно, чтобы затормозить внутреннюю область на десятую долю ниже Свердрупа, как и говорит его точное решение. Бассейн Манка без донного трения колеблется много месяцев, прежде чем успокоиться. Нелинейный член на этих сетках слаб и использует не более чем среднюю сетку; сильно нелинейные прогоны идут меньшими шагами и медленнее. Высота морской поверхности — баротропная, нарисованная в шесть раз выше.
Уравнения модуля
Уравнения ∂(∇²ψ)/∂t + J(ψ, ∇²ψ)/H + β·∂ψ/∂x = curl τ/ρ − r·∇²ψ + A·∇²(∇²ψ) τ_x = −τ0·cos(πy/L), curl τ = −τ0·(π/L)·sin(πy/L), Sverdrup: β·V = curl τ/ρ Stommel: ψ = K/(r·k²)·(1 − p·e^(λ1·x) − q·e^(λ2·x))·sin ky, λ2 ≈ −β/r, δ_S = r/β Munk: δ_M = (A/β)^(1/3); E = ρ/(2H)·∫|∇ψ|² dA, dE/dt = W_wind − 2r·E − D_A
