Earth
Океанічні кругообіги
Погляньте згори на океанський басейн, розкладений, мов рельєфний стіл на сонці, і дайте вітрам привести його в рух: пасати на півдні й західні вітри на півночі закручують море в кругообіг, а оскільки параметр Коріоліса зростає на північ, зворотний потік не розтікається океаном, а стискається у вузьку швидку течію вздовж західного берега, подібну до Гольфстриму, тоді як уся внутрішня область повільно повзе на південь зі свердрупівським перенесенням. Буї й судна пливуть за течією, а рівень моря найвищий у центрі кругообігу. Вимкніть β-ефект — і кругообіг стане симетричним; посильте тертя або перейдіть на вищу широту — і західна течія розшириться як r/β або як (A/β)^(1/3) з в’язкістю Манка; додайте субполярний кругообіг; зупиніть вітер і дивіться, як кругообіг згасає. Точний розв’язок Стоммела стоїть поруч із числами, а робота вітру врівноважує тертя з точністю до округлення.
Що відбувається
Квадратний басейн завширшки 3000 км біля 30° пн. ш. на β-площині, β = 2Ω cos φ/R = 1,98×10^-11 1/(м·с). Проінтегроване за глибиною рівняння вихору для функції течії повного потоку ψ (U = −∂ψ/∂y, V = ∂ψ/∂x) приводиться в дію ротором зонального вітру τ = −τ0 cos(πy/L): пасати на півдні й західні вітри на півночі (cos(2πy/L) для двох кругообігів), τ0 = 0,1 Н/м². Модель Стоммела гальмує його донним тертям r (час згасання 1/r = 10 діб), модель Манка — бічною в’язкістю A = 2000 м²/с з умовою прилипання біля берегів. ψ — сума синусоїдальних мод у напрямку північ–південь, тому лінійна задача точно розділяється; різниці другого порядку в напрямку схід–захід на 128 комірках, неявний метод середньої точки з кроком 6 годин, один розв’язок п’ятидіагональної системи на моду. Необов’язковий якобіан J(ψ, ∇²ψ)/H береться у формі Аракави на сітці в екстрапольованій середній точці, а кроки вкорочуються так, щоб найшвидша течія проходила за крок чверть комірки. Через чотири місяці кругообіг Стоммела переносить 12,78 Св при його точних 12,77 Св і свердрупівських 15,5 Св; західна течія завширшки 52 км (r/β = 58 км) іде зі швидкістю 0,2 м/с, а море в центрі стоїть на 9,5 см вище. Вітер виконує роботу 3,28 ГВт, і тертя розсіює стільки ж, 2rE; баланс енергії сходиться з точністю 10^-12. Буї рухаються із середньою за глибиною течією кусково-лінійної функції течії.
Що спробувати
Дивіться, як кругообіг розкручується, а західна течія звужується; порівняйте його перенесення й ширину із замкненою формулою Стоммела; перейдіть на сталий параметр Коріоліса — і кругообіг стане симетричним; підніміть широту або тертя — і західна течія розшириться; спробуйте в’язкість Манка, два кругообіги або зупиніть вітер.
Модель та її обмеження
Квадратний басейн із плоским дном з одного однорідного шару, усталений зональний вітер однієї синусоїдальної моди, або лінійне донне тертя, або лапласова в’язкість, вільне проковзування біля північного й південного берегів; без стратифікації, без термохалінної циркуляції, без вихорів, дрібніших за сітку. Тертя Стоммела тут достатньо сильне, щоб загальмувати внутрішню область на десяту частку нижче Свердрупа, як і каже його точний розв’язок. Басейн Манка без донного тертя коливається багато місяців, перш ніж заспокоїтися. Нелінійний член на цих сітках слабкий і використовує щонайбільше середню сітку; сильно нелінійні прогони йдуть меншими кроками й повільніше. Висота морської поверхні — баротропна, намальована вшестеро вищою.
Рівняння модуля
Рівняння ∂(∇²ψ)/∂t + J(ψ, ∇²ψ)/H + β·∂ψ/∂x = curl τ/ρ − r·∇²ψ + A·∇²(∇²ψ) τ_x = −τ0·cos(πy/L), curl τ = −τ0·(π/L)·sin(πy/L), Sverdrup: β·V = curl τ/ρ Stommel: ψ = K/(r·k²)·(1 − p·e^(λ1·x) − q·e^(λ2·x))·sin ky, λ2 ≈ −β/r, δ_S = r/β Munk: δ_M = (A/β)^(1/3); E = ρ/(2H)·∫|∇ψ|² dA, dE/dt = W_wind − 2r·E − D_A
