Engineering
Escalier mécanique en coupe
Suivez les marches sur toute la boucle cachée : horizontales dans la montée, se retournant autour des pignons, à l’envers sur le chemin du retour. Chargez les marches, faites monter ou descendre l’escalier, détendez la main courante ou changez son rapport de vitesse, et arrêtez la bande chargée pour voir sur quelle distance elle glisse.
Ce qui se passe
Un escalier mécanique de 84 marches, portées par une chaîne fermée de 33,6 m de long, monte de 6 m avec une inclinaison de 30° : une partie inclinée de 10,77 m entre un raccordement concave et un raccordement convexe de 2,0 et 2,6 m de rayon, des paliers horizontaux avec leurs peignes, et des retournements de 0,35 m de rayon autour desquels les marches repartent par-dessous, à l’envers. L’axe avant de chaque marche est porté par la chaîne ; sur le brin de travail, ses galets arrière maintiennent la marche horizontale, si bien que les marches forment un escalier dans la pente et un plancher sur les paliers. Une seule coordonnée décrit le mouvement de toute la bande : le couple du moteur asynchrone, proportionnel au glissement et limité à son couple de décrochage, l’entraîne par un réducteur de rapport 110 contre le poids des marches dans les parties inclinées et des charges qu’elles portent, la résistance au roulement et le frein. Les charges montent sur les marches à un peigne et en descendent à l’autre, apportant puis emportant leur énergie. Les mains courantes tournent sur leur propre roue motrice, à un rapport choisi de la vitesse des marches ; cette roue les entraîne par frottement, au plus avec T·(e^(μβ) − 1), et elles glissent quand on leur en demande davantage.
Freinée à partir de 0,5 m/s par 30 N·m sur l’arbre du moteur, la bande qui monte, à moitié chargée de caisses de 80 kg – elle en porte 17 –, s’arrête en 0,147 m, et vide en 0,221 m : le poids aide le frein. À la descente, à pleine charge avec des caisses de 100 kg, 34 en tout, il lui faut 0,511 m, même avec 60 N·m.
Modèle : la bande rigide et la chaîne inextensible ; l’orientation de chaque marche tirée des trajectoires de ses deux axes ; une charge, une masse posée sur sa marche ; ni passagers qui marchent, ni allongement de la chaîne. RK4 au pas de 1/120 s ; le bilan d’énergie se boucle sur le travail du moteur.
À essayer
Démarrez la bande et suivez une marche sur toute la boucle. Arrêtez-la chargée à la montée puis à la descente, et comparez la distance de glissement ; détendez la main courante ou changez son rapport, et regardez les mains dériver par rapport aux marches.
Équations du module
Équations M·d²s/dt² = F_motor − Σ m_i·g·sin τ(s_i) − F_roll − F_brake T_motor = min(K·(ω_s − ω), T_max) T_rail ≤ T·(e^(μβ) − 1) step i: front axle at P(s + i·p), tread level on the working branch
