Math
Mappa complessa
Una griglia che si deforma sotto z², z³, 1/z, e^z, sin z, una mappa di Möbius e quella di Joukowski: gli angoli retti sopravvivono ovunque f′ ≠ 0, e il cerchio-sonda misura |f′|, arg f′ e l'indice di avvolgimento nei punti critici.
Cosa succede
Due pannelli. A sinistra il piano z con una griglia quadrata - le verticali colorate secondo la loro x, le orizzontali secondo la loro y, così che ogni linea resti riconoscibile dopo che la funzione l'ha piegata. A destra la stessa griglia dopo g_t = (1 − t)·z + t·f(z), e t oscilla 0 → 1 → 0: la griglia scorre in parabole sotto z², in cerchi per l'origine sotto 1/z, in raggi e cerchi sotto e^z, in ellissi e iperboli confocali sotto sin z, nel disco unitario sotto (z − i)/(z + i), nelle ellissi di Joukowski sotto z + 1/z, e torna. Ogni fotogramma della deformazione è a sua volta olomorfo - una somma di mappe olomorfe lo è -, quindi ogni fotogramma è CONFORME: l'angolo retto tra le due famiglie colorate sopravvive per tutto il percorso, ovunque la derivata non sia zero. Il cerchio-sonda dorato con due bracci sta sul dominio (trascinalo col tasto sinistro, o lascia che il giro lo porti); la sua immagine a destra è un piccolo cerchio scalato di |f′| e ruotato di arg f′, con i bracci ancora ad angolo retto. Dove f′ = 0 gli angoli invece si moltiplicano: l'immagine del cerchio si avvolge due volte attorno all'origine di z², tre attorno a quella di z³, e i bracci si aprono a 180°. Il pannello misura tutto questo sul cerchio e stampa la forma chiusa accanto a ogni numero. Un'altra cosa da guardare: la deformazione ha punti critici propri, in f′(z) = −(1 − t)/t. Per z² è un'unica piega che entra lungo l'asse reale da −∞ a 0 - è segnata nel dominio -, e la griglia si increspa esattamente lì, e in nessun altro posto.
Equazioni del modulo
Equazioni w = f(z), f olomorfa: u_x = v_y, u_y = −v_x (Cauchy–Riemann), Δu = Δv = 0 conforme dove f′(z) ≠ 0: un piccolo cerchio di raggio r → un cerchio di raggio r·|f′|, ruotato di arg f′; gli angoli si conservano in un punto critico n-plo gli angoli sono moltiplicati per n: l'immagine di un piccolo cerchio gira n volte (2 per z² in 0, 3 per z³) metamorfosi: g_t(z) = (1 − t)·z + t·f(z), g_t′ = (1 − t) + t·f′ - olomorfa per ogni t; le sue pieghe sono soluzioni di f′(z) = −(1 − t)/t (z²: z = −(1 − t)/(2t)) z²: x = c → v² = 4c²(c² − u); 1/z: x = c → |w − 1/(2c)| = 1/(2|c|); e^z: x = c → |w| = e^c, y = c → arg w = c sin z: x = c → u²/sin²c − v²/cos²c = 1, y = c → u²/cosh²c + v²/sinh²c = 1 (fuochi ±1) (z − i)/(z + i): asse reale → circonferenza unitaria, Im z > 0 → |w| < 1; z + 1/z: |z| = 1 → [−2, 2], |z| = R → ellisse (R + 1/R, R − 1/R) principio dell'argomento: l'immagine di |z| = R gira attorno a 0 esattamente (zeri − poli) volte circolarità dell'immagine di |z − z₀| = r: z² → 1 + r/(|z₀| − r/2), e^z → e^r esattamente
