Math
Aplicación compleja
Una cuadrícula que se transforma bajo z², z³, 1/z, e^z, sin z, una aplicación de Möbius y la de Joukowski: los ángulos rectos sobreviven donde f′ ≠ 0, y el círculo de sonda mide |f′|, arg f′ y el número de vueltas en los puntos críticos.
Qué ocurre
Dos paneles. A la izquierda, el plano z con una cuadrícula: las líneas verticales coloreadas por su x, las horizontales por su y, para que cada línea se reconozca después de que la función la doble. A la derecha, la misma cuadrícula tras g_t = (1 − t)·z + t·f(z), y t barre 0 → 1 → 0: la cuadrícula fluye a parábolas bajo z², a circunferencias por el origen bajo 1/z, a rayos y circunferencias bajo e^z, a elipses e hipérbolas confocales bajo sin z, al disco unidad bajo (z − i)/(z + i), a las elipses de Joukowski bajo z + 1/z, y vuelve. Cada fotograma de la transformación es a su vez holomorfo - una suma de aplicaciones holomorfas lo es -, así que cada fotograma es CONFORME: el ángulo recto entre las dos familias de colores sobrevive todo el camino, dondequiera que la derivada no sea cero. El círculo de sonda dorado con dos brazos está sobre el dominio (arrástralo con el botón izquierdo, o deja que el recorrido lo lleve); su imagen a la derecha es un pequeño círculo escalado por |f′| y girado arg f′, con los brazos aún en ángulo recto. Donde f′ = 0 los ángulos se multiplican: la imagen del círculo da dos vueltas alrededor del origen de z², tres alrededor del de z³, y los brazos se abren a 180°. El panel mide todo eso sobre el círculo e imprime la forma cerrada junto a cada número. Algo más que mirar: la transformación tiene puntos críticos propios, en f′(z) = −(1 − t)/t. Para z² es un solo pliegue que entra por el eje real desde −∞ hasta 0 - está marcado en el dominio - y la cuadrícula se arruga exactamente ahí, y en ningún otro sitio.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones w = f(z), f holomorfa: u_x = v_y, u_y = −v_x (Cauchy–Riemann), Δu = Δv = 0 conforme donde f′(z) ≠ 0: una circunferencia pequeña de radio r → una circunferencia de radio r·|f′|, girada un ángulo arg f′; los ángulos se conservan en un punto crítico n-múltiple los ángulos se multiplican por n: la imagen de una circunferencia pequeña da n vueltas (2 para z² en 0, 3 para z³) metamorfosis: g_t(z) = (1 − t)·z + t·f(z), g_t′ = (1 − t) + t·f′ - holomorfa para todo t; sus pliegues resuelven f′(z) = −(1 − t)/t (z²: z = −(1 − t)/(2t)) z²: x = c → v² = 4c²(c² − u); 1/z: x = c → |w − 1/(2c)| = 1/(2|c|); e^z: x = c → |w| = e^c, y = c → arg w = c sin z: x = c → u²/sin²c − v²/cos²c = 1, y = c → u²/cosh²c + v²/sinh²c = 1 (focos ±1) (z − i)/(z + i): eje real → circunferencia unidad, Im z > 0 → |w| < 1; z + 1/z: |z| = 1 → [−2, 2], |z| = R → elipse (R + 1/R, R − 1/R) principio del argumento: la imagen de |z| = R da vueltas alrededor de 0 exactamente (ceros − polos) veces redondez de la imagen de |z − z₀| = r: z² → 1 + r/(|z₀| − r/2), e^z → e^r exactamente
