Math
Sólidos platónicos y arquimedianos
Cinco sólidos perfectos, sus truncamientos y sus duales: corta las esquinas y aparece el balón.
Qué ocurre
Hay cinco sólidos convexos con todas sus caras el mismo polígono regular y todas sus esquinas iguales, y no hay un sexto. Corta las esquinas de uno – cada arista cede una fracción t en cada extremo – y las caras de esquina crecen mientras las viejas menguan; en un t concreto las caras nuevas salen regulares, todas las aristas miden lo mismo y el sólido es arquimediano: el icosaedro truncado en t = 1/3 es el balón, doce pentágonos y veinte hexágonos. Sigue hasta t = 1/2 y las caras viejas se encuentran en los puntos medios: la rectificación, cuboctaedro o icosidodecaedro. Aquí el corte avanza solo y se detiene donde los cortes son regulares. Cada cara se colorea por su número de lados, el censo del panel se cuenta sobre la imagen y V − E + F = 2 en todo t. El dual – un vértice por cara – puede encenderse dentro.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones V − E + F = 2 (Euler, cualquier poliedro convexo) truncamiento: cada arista (i, j) da el punto v_i + t (v_j − v_i); t = 0 platónico, t = 1/2 rectificado t* = 1 / (2 + 2 sin(α/2)), α el ángulo de la cara: 1/3 para triángulos, 0.2929 para cuadrados, 0.2764 para pentágonos en t* las caras cortadas son regulares y todas las aristas son iguales: arquimediano dual: un vértice por cada cara, una arista por cada par de caras que comparten una arista
