Math
Платоновы и архимедовы тела
Пять совершенных тел, их усечения и двойственные: срежь углы - и появится футбольный мяч.
Что происходит
Выпуклых тел, у которых все грани - один правильный многоугольник и все вершины одинаковы, ровно пять, и шестого нет. Срежь у одного углы - каждое ребро отдаёт долю t с каждого конца, - угловые грани растут, старые сжимаются; при одном определённом t новые грани выходят правильными, все рёбра равны, и тело архимедово: усечённый икосаэдр при t = 1/3 - футбольный мяч, двенадцать пятиугольников и двадцать шестиугольников. Дойди до t = 1/2 - старые грани встречаются серединами рёбер: ректификация, кубооктаэдр или икосододекаэдр. Здесь срезание идёт само и останавливается там, где срезы правильные. Каждая грань окрашена по числу сторон, перепись на панели сосчитана по картинке, и V − E + F = 2 при любом t. Двойственное тело - по вершине на грань - можно зажечь внутри.
Уравнения модуля
Уравнения V − E + F = 2 (Эйлер, любой выпуклый многогранник) усечение: каждое ребро (i, j) даёт точку v_i + t (v_j − v_i); t = 0 - платоново тело, t = 1/2 - ректифицированное t* = 1 / (2 + 2 sin(α/2)), α - угол грани: 1/3 для треугольников, 0.2929 для квадратов, 0.2764 для пятиугольников при t* срезанные грани правильные и все рёбра равны: архимедово тело двойственный многогранник: по одной вершине на каждую грань, по одному ребру на каждую пару граней с общим ребром
