Math
Solides de Platon et d'Archimède
Cinq solides parfaits, leurs troncatures et leurs duaux : coupez les coins et le ballon apparaît.
Ce qui se passe
Il existe cinq solides convexes dont toutes les faces sont le même polygone régulier et tous les sommets semblables, et pas de sixième. Coupez les coins de l'un d'eux – chaque arête cède une fraction t à chaque bout – et les faces de coin grandissent tandis que les anciennes rétrécissent ; pour un t précis les nouvelles faces sortent régulières, toutes les arêtes ont la même longueur et le solide est archimédien : l'icosaèdre tronqué à t = 1/3 est le ballon, douze pentagones et vingt hexagones. Continuez jusqu'à t = 1/2 et les anciennes faces se rejoignent aux milieux : la rectification, cuboctaèdre ou icosidodécaèdre. Ici la coupe avance toute seule et s'arrête là où les coupes sont régulières. Chaque face est colorée par son nombre de côtés, le recensement du panneau est compté sur l'image, et V − E + F = 2 pour tout t. Le dual – un sommet par face – peut s'allumer à l'intérieur.
Équations du module
Équations V − E + F = 2 (Euler, tout polyèdre convexe) troncature : chaque arête (i, j) donne le point v_i + t (v_j − v_i) ; t = 0 platonicien, t = 1/2 rectifié t* = 1 / (2 + 2 sin(α/2)), α l'angle d'une face : 1/3 pour les triangles, 0.2929 pour les carrés, 0.2764 pour les pentagones en t* les faces tronquées sont régulières et toutes les arêtes sont égales : archimédien dual : un sommet par face, une arête pour chaque paire de faces qui partagent une arête
