Math
Platonische und archimedische Körper
Fünf vollkommene Körper, ihre Abstumpfungen und ihre Duale: schneide die Ecken ab, und der Fußball erscheint.
Was passiert
Es gibt genau fünf konvexe Körper, deren Flächen alle dasselbe regelmäßige Vieleck sind und deren Ecken alle gleich aussehen, und keinen sechsten. Schneidet man einem die Ecken ab – jede Kante gibt an beiden Enden einen Anteil t her –, wachsen die Eckflächen, während die alten schrumpfen; bei einem bestimmten t werden die neuen Flächen regelmäßig, alle Kanten gleich lang, und der Körper ist archimedisch: der Ikosaederstumpf bei t = 1/3 ist der Fußball, zwölf Fünfecke und zwanzig Sechsecke. Bei t = 1/2 treffen sich die alten Flächen in den Kantenmitten: die Rektifikation, Kuboktaeder oder Ikosidodekaeder. Hier läuft das Schneiden von selbst und hält dort an, wo die Schnitte regelmäßig sind. Jede Fläche ist nach ihrer Seitenzahl gefärbt, die Zählung auf dem Panel ist aus dem Bild gezählt, und V − E + F = 2 bei jedem t. Das Duale – eine Ecke je Fläche – lässt sich innen aufleuchten.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen V − E + F = 2 (Euler, jedes konvexe Polyeder) Stutzung: jede Kante (i, j) liefert den Punkt v_i + t (v_j − v_i); t = 0 platonisch, t = 1/2 rektifiziert t* = 1 / (2 + 2 sin(α/2)), α der Winkel der Seitenfläche: 1/3 für Dreiecke, 0.2929 für Quadrate, 0.2764 für Fünfecke bei t* sind die Schnittflächen regelmäßig und alle Kanten gleich lang: archimedisch dual: ein Eckpunkt pro Fläche, eine Kante pro Paar von Flächen, die eine Kante gemeinsam haben
