Math
Odwzorowanie zespolone
Siatka przekształcająca się pod z², z³, 1/z, e^z, sin z, odwzorowaniem Möbiusa i odwzorowaniem Żukowskiego: kąty proste przetrwają wszędzie tam, gdzie f′ ≠ 0, a okrąg-sonda mierzy |f′|, arg f′ i liczbę nawinięć w punktach krytycznych.
Co się dzieje
Dwa panele. Po lewej płaszczyzna z z kwadratową siatką - pionowe linie zabarwione według swojego x, poziome według y, tak by każdą linię dało się rozpoznać, gdy funkcja ją wygnie. Po prawej ta sama siatka po g_t = (1 − t)·z + t·f(z), a t przebiega 0 → 1 → 0: siatka spływa w parabole pod z², w okręgi przez początek pod 1/z, w półproste i okręgi pod e^z, w konfokalne elipsy i hiperbole pod sin z, w koło jednostkowe pod (z − i)/(z + i), w elipsy Żukowskiego pod z + 1/z - i z powrotem. Każda klatka przekształcenia jest sama holomorficzna - suma odwzorowań holomorficznych jest holomorficzna -, więc każda klatka jest KONFOREMNA: kąt prosty między dwiema kolorowymi rodzinami przetrwa całą drogę, wszędzie tam, gdzie pochodna nie jest zerem. Złoty okrąg-sonda z dwoma ramionami siedzi na dziedzinie (przeciągnij go lewym przyciskiem albo pozwól, by poniosła go trasa); jego obraz po prawej to mały okrąg przeskalowany o |f′| i obrócony o arg f′, z ramionami wciąż pod kątem prostym. Tam, gdzie f′ = 0, kąty zamiast tego się mnożą: obraz okręgu nawija się dwa razy wokół początku z², trzy razy wokół początku z³, a ramiona otwierają się do 180°. Panel mierzy to wszystko na okręgu i drukuje postać zamkniętą obok każdej liczby. I jeszcze jedno, na co warto patrzeć: przekształcenie ma własne punkty krytyczne, przy f′(z) = −(1 − t)/t. Dla z² to jedna fałda wędrująca po osi rzeczywistej od −∞ do 0 - jest zaznaczona w dziedzinie -, i siatka marszczy się dokładnie tam, i nigdzie indziej.
Równania modułu
Równania w = f(z), f holomorficzna: u_x = v_y, u_y = −v_x (Cauchy'ego–Riemanna), Δu = Δv = 0 konforemne tam, gdzie f′(z) ≠ 0: mały okrąg o promieniu r → okrąg o promieniu r·|f′|, obrócony o arg f′; kąty są zachowane w n-krotnym punkcie krytycznym kąty są mnożone przez n: obraz małego okręgu owija się n razy (2 dla z² w 0, 3 dla z³) morfowanie: g_t(z) = (1 − t)·z + t·f(z), g_t′ = (1 − t) + t·f′ - holomorficzne dla każdego t; jego fałdy spełniają f′(z) = −(1 − t)/t (z²: z = −(1 − t)/(2t)) z²: x = c → v² = 4c²(c² − u); 1/z: x = c → |w − 1/(2c)| = 1/(2|c|); e^z: x = c → |w| = e^c, y = c → arg w = c sin z: x = c → u²/sin²c − v²/cos²c = 1, y = c → u²/cosh²c + v²/sinh²c = 1 (ogniska ±1) (z − i)/(z + i): oś rzeczywista → okrąg jednostkowy, Im z > 0 → |w| < 1; z + 1/z: |z| = 1 → [−2, 2], |z| = R → elipsa (R + 1/R, R − 1/R) zasada argumentu: obraz |z| = R okrąża 0 dokładnie (zera − bieguny) razy okrągłość obrazu |z − z₀| = r: z² → 1 + r/(|z₀| − r/2), e^z → e^r dokładnie
