Math
Komplexe Abbildung
Ein Gitter, das sich unter z², z³, 1/z, e^z, sin z, einer Möbius-Abbildung und der Joukowski-Abbildung verformt: die rechten Winkel überleben überall, wo f′ ≠ 0, und der Prüfkreis misst |f′|, arg f′ und die Windungszahl an den kritischen Punkten.
Was passiert
Zwei Tafeln. Links die z-Ebene mit einem Quadratgitter - senkrechte Linien nach ihrem x gefärbt, waagerechte nach ihrem y, damit jede Linie wiederzuerkennen ist, nachdem die Funktion sie gebogen hat. Rechts dasselbe Gitter nach g_t = (1 − t)·z + t·f(z), und t läuft 0 → 1 → 0: das Gitter fließt unter z² in Parabeln, unter 1/z in Kreise durch den Ursprung, unter e^z in Strahlen und Kreise, unter sin z in konfokale Ellipsen und Hyperbeln, unter (z − i)/(z + i) in die Einheitsscheibe, unter z + 1/z in die Joukowski-Ellipsen - und zurück. Jedes Bild des Morphs ist selbst holomorph - eine Summe holomorpher Abbildungen ist eine -, also ist jedes Bild KONFORM: der rechte Winkel zwischen den beiden farbigen Familien überlebt den ganzen Weg, überall, wo die Ableitung nicht null ist. Der goldene Prüfkreis mit zwei Armen sitzt auf dem Definitionsbereich (mit der linken Taste ziehen, oder die Tour tragen lassen); sein Bild rechts ist ein kleiner Kreis, um |f′| skaliert und um arg f′ gedreht, die Arme weiterhin rechtwinklig. Wo f′ = 0, multiplizieren sich die Winkel stattdessen: das Bild des Kreises windet sich zweimal um den Ursprung von z², dreimal um den von z³, und die Arme öffnen sich auf 180°. Die Tafel misst all das am Kreis und druckt neben jede Zahl die geschlossene Form. Noch etwas zum Beobachten: der Morph hat eigene kritische Punkte, bei f′(z) = −(1 − t)/t. Für z² ist das eine einzelne Falte, die auf der reellen Achse von −∞ nach 0 hereinwandert - sie ist im Definitionsbereich markiert -, und genau dort knickt das Gitter, und nirgends sonst.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen w = f(z), f holomorph: u_x = v_y, u_y = −v_x (Cauchy–Riemann), Δu = Δv = 0 konform, wo f′(z) ≠ 0: ein kleiner Kreis vom Radius r → ein Kreis vom Radius r·|f′|, gedreht um arg f′; Winkel bleiben erhalten an einem n-fachen kritischen Punkt werden Winkel mit n multipliziert: das Bild eines kleinen Kreises windet sich n-mal (2 für z² bei 0, 3 für z³) Morphing: g_t(z) = (1 − t)·z + t·f(z), g_t′ = (1 − t) + t·f′, also holomorph für jedes t; seine Falten lösen f′(z) = −(1 − t)/t (z²: z = −(1 − t)/(2t)) z²: x = c → v² = 4c²(c² − u); 1/z: x = c → |w − 1/(2c)| = 1/(2|c|); e^z: x = c → |w| = e^c, y = c → arg w = c sin z: x = c → u²/sin²c − v²/cos²c = 1, y = c → u²/cosh²c + v²/sinh²c = 1 (Brennpunkte ±1) (z − i)/(z + i): reelle Achse → Einheitskreis, Im z > 0 → |w| < 1; z + 1/z: |z| = 1 → [−2, 2], |z| = R → Ellipse (R + 1/R, R − 1/R) Argumentprinzip: das Bild von |z| = R umläuft 0 genau (Nullstellen − Pole) Mal Rundheit des Bildes von |z − z₀| = r: z² → 1 + r/(|z₀| − r/2), e^z → e^r exakt
