Math
Riemannsche Flächen
Die Blätter des komplexen Logarithmus und der Quadratwurzel, entlang ihrer Verzweigungsschnitte verklebt.
Was passiert
w = √z hat in jedem z außer null zwei Werte, und die Fläche aller (z, w) ist EINE Sache: führt man z einmal um den Ursprung, kommt w mit dem anderen Vorzeichen zurück – Monodromie, der Grund, warum eine Riemannsche Fläche eine Fläche ist und nicht zwei Graphen. Gezeichnet wird die Höhe Re(e^{iφ}w) mit einstellbarem Projektionswinkel φ; die Fläche ist der Schatten von etwas Vierdimensionalem, und φ dreht dieses Etwas, sodass die Blätter durcheinander hindurchgehen, während der Verzweigungspunkt stillsteht. Beim Logarithmus verwandelt dieselbe Drehung einen Trichter in eine Wendelfläche. Die Farbe zeigt standardmäßig die dargestellte Höhe; die Phase kann alternativ eingefärbt werden. Die Projektion steht anfangs still; Winkel und Drehgeschwindigkeit sind einstellbar. Ein Wanderer läuft eine Schleife in der Ebene darunter, sein Bild klettert die Fläche hinauf, und das Panel druckt, was die Schleife mit w gemacht hat. Legt man die Schleife um einen Verzweigungspunkt von √(z² − 1), kippt das Vorzeichen; um beide, nicht.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen w = √z: w(r, θ + 2π) = −w(r, θ) (zwei Blätter, ein Verzweigungspunkt) w = z^(1/n): ein Umlauf multipliziert w mit e^(2πi/n); n Umläufe stellen es wieder her w = log z = ln r + iθ: jeder Umlauf addiert 2πi (das Helikoid schließt sich nie) w = √(z² − 1): eine Schleife um einen Verzweigungspunkt kehrt das Vorzeichen um, um beide herum dagegen nicht y = s Re(e^(iφ) w); s = 0.9 × Skalierung (Wurzeln), 0.28 × Skalierung (log); Farbe: y / arg w
