Math
Surfaces de Riemann
Les feuillets du logarithme complexe et de la racine carrée, recollés le long de leurs coupures.
Ce qui se passe
w = √z a deux valeurs en tout z sauf zéro, et la surface de tous les (z, w) est UNE seule chose : faites faire à z un tour de l'origine et w revient avec l'autre signe – la monodromie, la raison pour laquelle une surface de Riemann est une surface et non deux graphes. La hauteur tracée est Re(e^{iφ}w), avec un angle de projection φ réglable ; la surface est l'ombre d'un objet à quatre dimensions, et tourner φ tourne cet objet : les feuillets se traversent tandis que le point de branchement ne bouge pas. Pour le logarithme le même tour change un entonnoir en hélicoïde. La couleur représente la hauteur tracée ; une coloration par phase est aussi disponible. La projection est fixe au départ ; son angle et sa vitesse de rotation sont réglables. Un marcheur parcourt une boucle dans le plan en dessous, son image grimpe la surface, et le panneau imprime ce que la boucle a fait à w. Placez la boucle sur un point de branchement de √(z² − 1) et le signe bascule ; autour des deux, non.
Équations du module
Équations w = √z : w(r, θ + 2π) = −w(r, θ) (deux feuillets, un point de branchement) w = z^(1/n) : un tour multiplie w par e^(2πi/n) ; n tours le ramènent à sa valeur w = log z = ln r + iθ : chaque tour ajoute 2πi (l'hélicoïde ne se referme jamais) w = √(z² − 1) : un tour autour d'un seul point de branchement change le signe, autour des deux il ne le change pas y = s Re(e^(iφ) w) ; s = 0.9 × échelle (racines), 0.28 × échelle (log) ; couleur : y / arg w
