Math
Римановы поверхности
Листы комплексного логарифма и квадратного корня, склеенные вдоль разрезов.
Что происходит
У w = √z два значения в каждой точке, кроме нуля, и поверхность всех (z, w) - ОДНА вещь: обойди z вокруг нуля один раз, и w вернётся с другим знаком - монодромия, то, почему риманова поверхность - поверхность, а не два графика. Высота на экране - Re(e^{iφ}w), угол проекции φ можно менять: поверхность - тень четырёхмерной вещи, а поворот φ поворачивает саму вещь, так что листы проходят друг сквозь друга, а точка ветвления стоит на месте. У логарифма тот же поворот превращает воронку в геликоид. Цвет по умолчанию показывает высоту на графике; можно переключиться на фазу. Проекция изначально неподвижна, её угол и скорость вращения регулируются. Ходок обходит петлю на плоскости внизу, его образ карабкается по поверхности, а панель печатает, что петля сделала с w. Сдвинь петлю на одну точку ветвления √(z² − 1) - знак меняется; вокруг обеих - нет.
Уравнения модуля
Уравнения w = √z: w(r, θ + 2π) = −w(r, θ) (два листа, одна точка ветвления) w = z^(1/n): один обход умножает w на e^(2πi/n); n обходов возвращают его w = log z = ln r + iθ: каждый обход прибавляет 2πi (геликоид никогда не замыкается) w = √(z² − 1): обход вокруг одной точки ветвления меняет знак, вокруг обеих - не меняет y = s Re(e^(iφ) w); s = 0.9 × масштаб (корни), 0.28 × масштаб (log); цвет: y / arg w
