Math
Superficies de Riemann
Las hojas del logaritmo complejo y de la raíz cuadrada, unidas a lo largo de sus cortes de ramificación.
Qué ocurre
w = √z tiene dos valores en cada z salvo cero, y la superficie de todos los (z, w) es UNA sola cosa: sigue z una vuelta alrededor del origen y w vuelve con el otro signo – monodromía, la razón por la que una superficie de Riemann es una superficie y no dos gráficas. La altura dibujada es Re(e^{iφ}w) con un ángulo de proyección φ ajustable; la superficie es la sombra de algo en cuatro dimensiones, y girar φ gira esa cosa, así que las hojas se atraviesan mientras el punto de ramificación no se mueve. Para el logaritmo el mismo giro convierte un embudo en un helicoide. El color indica la altura representada; también se puede colorear por fase. La proyección empieza fija; su ángulo y velocidad de giro son ajustables. Un caminante recorre un lazo en el plano de abajo, su imagen trepa por la superficie y el panel imprime lo que el lazo hizo con w. Pon el lazo sobre un punto de ramificación de √(z² − 1) y el signo cambia; alrededor de ambos, no.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones w = √z: w(r, θ + 2π) = −w(r, θ) (dos hojas, un punto de ramificación) w = z^(1/n): una vuelta multiplica w por e^(2πi/n); n vueltas lo restablecen w = log z = ln r + iθ: cada vuelta suma 2πi (el helicoide nunca se cierra) w = √(z² − 1): una vuelta alrededor de un punto de ramificación cambia el signo, alrededor de ambos no y = s Re(e^(iφ) w); s = 0.9 × escala (raíces), 0.28 × escala (log); color: y / arg w
