Math
Powierzchnie Riemanna
Płaty zespolonego logarytmu i pierwiastka kwadratowego, sklejone wzdłuż cięć.
Co się dzieje
w = √z ma dwie wartości w każdym z poza zerem, a powierzchnia wszystkich (z, w) to JEDNA rzecz: obejdź z raz wokół zera, a w wróci z przeciwnym znakiem – monodromia, powód, dla którego powierzchnia Riemanna jest powierzchnią, a nie dwoma wykresami. Rysowana wysokość to Re(e^{iφ}w) z regulowanym kątem projekcji φ; powierzchnia jest cieniem czegoś czterowymiarowego, a obrót φ obraca tę rzecz, więc płaty przenikają się nawzajem, a punkt rozgałęzienia stoi w miejscu. Dla logarytmu ten sam obrót zamienia lejek w helikoidę. Kolor przedstawia domyślnie wysokość wykresu; można też wybrać fazę. Projekcja początkowo jest nieruchoma; jej kąt i prędkość obrotu są regulowane. Wędrowiec obchodzi pętlę na płaszczyźnie poniżej, jego obraz wspina się po powierzchni, a panel wypisuje, co pętla zrobiła z w. Przesuń pętlę na jeden punkt rozgałęzienia √(z² − 1), a znak się odwróci; wokół obu – nie.
Równania modułu
Równania w = √z: w(r, θ + 2π) = −w(r, θ) (dwa listki, jeden punkt rozgałęzienia) w = z^(1/n): jedno okrążenie mnoży w przez e^(2πi/n); n okrążeń przywraca jej pierwotną wartość w = log z = ln r + iθ: każde okrążenie dodaje 2πi (helikoida nigdy się nie zamyka) w = √(z² − 1): okrążenie jednego punktu rozgałęzienia zmienia znak, a okrążenie obu punktów go nie zmienia y = s Re(e^(iφ) w); s = 0.9 × skala (pierwiastki), 0.28 × skala (log); kolor: y / arg w
