Math
Superfici di Riemann
I fogli del logaritmo complesso e della radice quadrata, incollati lungo i loro tagli.
Cosa succede
w = √z ha due valori in ogni z tranne zero, e la superficie di tutti i (z, w) è UNA cosa sola: porta z una volta attorno all'origine e w torna con l'altro segno – monodromia, il motivo per cui una superficie di Riemann è una superficie e non due grafici. L'altezza disegnata è Re(e^{iφ}w) con un angolo di proiezione φ regolabile; la superficie è l'ombra di qualcosa in quattro dimensioni, e girare φ gira quella cosa, così i fogli si attraversano mentre il punto di diramazione non si muove. Per il logaritmo lo stesso giro trasforma un imbuto in un elicoide. Il colore indica l’altezza disegnata; si può anche scegliere la fase. La proiezione inizialmente è ferma; angolo e velocità di rotazione sono regolabili. Un camminatore percorre un anello nel piano sotto, la sua immagine sale sulla superficie e il pannello stampa cosa l'anello ha fatto a w. Sposta l'anello su un punto di diramazione di √(z² − 1) e il segno si inverte; attorno a entrambi, no.
Equazioni del modulo
Equazioni w = √z: w(r, θ + 2π) = −w(r, θ) (due fogli, un punto di diramazione) w = z^(1/n): un giro moltiplica w per e^(2πi/n); n giri lo ripristinano w = log z = ln r + iθ: ogni giro aggiunge 2πi (l'elicoide non si chiude mai) w = √(z² − 1): un giro attorno a un punto di diramazione cambia il segno, attorno a entrambi no y = s Re(e^(iφ) w); s = 0.9 × scala (radici), 0.28 × scala (log); colore: y / arg w
