Math
Ріманові поверхні
Аркуші комплексного логарифма і квадратного кореня, склеєні вздовж розрізів.
Що відбувається
У w = √z два значення в кожній точці, крім нуля, а поверхня всіх (z, w) - ОДНА річ: обійди z навколо нуля один раз, і w повернеться з іншим знаком - монодромія, те, чому ріманова поверхня - поверхня, а не два графіки. Висота на екрані - Re(e^{iφ}w), кут проєкції φ можна змінювати: поверхня - тінь чотиривимірної речі, а поворот φ повертає саму річ, тож аркуші проходять один крізь одного, а точка розгалуження стоїть на місці. У логарифма той самий поворот перетворює лійку на гелікоїд. Колір за замовчуванням показує висоту на графіку; можна вибрати фазу. Проєкція спочатку нерухома, її кут і швидкість обертання регулюються. Ходок обходить петлю на площині внизу, його образ дереться поверхнею, а панель друкує, що петля зробила з w. Зсунь петлю на одну точку розгалуження √(z² − 1) - знак змінюється; навколо обох - ні.
Рівняння модуля
Рівняння w = √z: w(r, θ + 2π) = −w(r, θ) (два листи, одна точка розгалуження) w = z^(1/n): один обхід множить w на e^(2πi/n); n обходів повертають його на місце w = log z = ln r + iθ: кожен обхід додає 2πi (гелікоїд ніколи не замикається) w = √(z² − 1): обхід навколо однієї точки розгалуження змінює знак, навколо обох - ні y = s Re(e^(iφ) w); s = 0.9 × масштаб (корені), 0.28 × масштаб (log); колір: y / arg w
