Math
4D-Polytope
Tesserakt, 24-Zell und 600-Zell, in vier Dimensionen gedreht und in drei projiziert.
Was passiert
Der Schatten eines Tesserakts ist ein Würfel in einem Würfel. Dreht man den Körper in der xw-Ebene – durch die vierte Dimension –, schwillt der innere Würfel an, tritt durch den äußeren hindurch und nimmt dessen Platz ein: dieses Atmen ist die vierte Dimension, gesehen. Es gibt genau sechs reguläre konvexe 4-Polytope, und hier sind alle sechs, aus Koordinaten gebaut und gezählt, mit Eulers V − E + F − C = 0 für jedes. Das 120-Zell ist nicht eingetippt: es ist das 600-Zell von innen nach außen gekehrt, seine 600 Ecken die Mittelpunkte der 600 Tetraeder des anderen. Kanten sind nach w gefärbt – warm nahe dem 4D-Auge, kalt fern davon –, und jeweils eine Zelle leuchtet golden und wandert über das Polytop, sodass ein 600-Zell als sechshundert Tetraeder gelesen wird und nicht als Knäuel aus Linien. Rechte Maustaste dreht den Körper in 4D von Hand.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen
V − E + F − C = 0 (Euler, jedes konvexe 4-Polytop)
x′ = x cos θ − w sin θ, w′ = x sin θ + w cos θ (eine Drehung in der xw-Ebene)
(x, y, z)₃ = (x, y, z)·D / (D − w) (Perspektive von einem 4D-Auge bei w = D)
{p, q, r}: p-Ecke, q um eine Kante, r um einen Eckpunkt... in 4D
