Math
Application complexe
Une grille qui se déforme sous z², z³, 1/z, e^z, sin z, une application de Möbius et celle de Joukowski : les angles droits survivent partout où f′ ≠ 0, et le cercle-sonde mesure |f′|, arg f′ et l'indice aux points critiques.
Ce qui se passe
Deux panneaux. À gauche le plan z avec une grille carrée - les verticales colorées selon leur x, les horizontales selon leur y, pour que chaque ligne reste reconnaissable une fois que la fonction l'a courbée. À droite la même grille après g_t = (1 − t)·z + t·f(z), et t balaie 0 → 1 → 0 : la grille coule en paraboles sous z², en cercles par l'origine sous 1/z, en rayons et cercles sous e^z, en ellipses et hyperboles confocales sous sin z, dans le disque unité sous (z − i)/(z + i), en ellipses de Joukowski sous z + 1/z, et revient. Chaque image de la déformation est elle-même holomorphe - une somme d'applications holomorphes l'est -, donc chaque image est CONFORME : l'angle droit entre les deux familles colorées survit tout du long, partout où la dérivée n'est pas nulle. Le cercle-sonde doré à deux bras est posé sur le domaine (tirez-le avec le bouton gauche, ou laissez la tournée le porter) ; son image à droite est un petit cercle dilaté de |f′| et tourné de arg f′, les bras toujours à angle droit. Là où f′ = 0, les angles se multiplient : l'image du cercle fait deux tours autour de l'origine de z², trois autour de celle de z³, et les bras s'ouvrent à 180°. Le panneau mesure tout cela sur le cercle et imprime la forme close à côté de chaque nombre. Une chose encore à surveiller : la déformation a ses propres points critiques, en f′(z) = −(1 − t)/t. Pour z² c'est un seul pli qui rentre le long de l'axe réel de −∞ vers 0 - il est marqué dans le domaine -, et la grille se froisse exactement là, et nulle part ailleurs.
Équations du module
Équations w = f(z), f holomorphe : u_x = v_y, u_y = −v_x (Cauchy–Riemann), Δu = Δv = 0 conforme là où f′(z) ≠ 0 : un petit cercle de rayon r → un cercle de rayon r·|f′|, tourné de arg f′ ; les angles sont conservés en un point critique n-uple les angles sont multipliés par n : l'image d'un petit cercle s'enroule n fois (2 pour z² en 0, 3 pour z³) déformation : g_t(z) = (1 − t)·z + t·f(z), g_t′ = (1 − t) + t·f′ - holomorphe pour tout t ; ses plis sont les solutions de f′(z) = −(1 − t)/t (z²: z = −(1 − t)/(2t)) z²: x = c → v² = 4c²(c² − u); 1/z: x = c → |w − 1/(2c)| = 1/(2|c|); e^z: x = c → |w| = e^c, y = c → arg w = c sin z : x = c → u²/sin²c − v²/cos²c = 1, y = c → u²/cosh²c + v²/sinh²c = 1 (foyers ±1) (z − i)/(z + i) : axe réel → cercle unité, Im z > 0 → |w| < 1 ; z + 1/z : |z| = 1 → [−2, 2], |z| = R → ellipse (R + 1/R, R − 1/R) principe de l'argument : l'image de |z| = R s'enroule autour de 0 exactement (zéros − pôles) fois rondeur de l'image de |z − z₀| = r : z² → 1 + r/(|z₀| − r/2), e^z → e^r exactement
