Math
Комплексне відображення
Сітка, що морфує під z², z³, 1/z, e^z, sin z, відображенням Мебіуса та відображенням Жуковського: прямі кути виживають скрізь, де f′ ≠ 0, а пробне коло вимірює |f′|, arg f′ і кількість обертів у критичних точках.
Що відбувається
Дві панелі. Ліворуч площина z з квадратною сіткою — вертикалі пофарбовані за своїм x, горизонталі за своїм y, щоб кожну лінію можна було впізнати після того, як функція її зігнула. Праворуч та сама сітка після g_t = (1 − t)·z + t·f(z), і t хитається 0 → 1 → 0: сітка перетікає в параболи під z², у кола через початок під 1/z, у промені й кола під e^z, у софокусні еліпси та гіперболи під sin z, в одиничний круг під (z − i)/(z + i), в еліпси Жуковського під z + 1/z — і назад. Кожен кадр морфу сам голоморфний — сума голоморфних відображень голоморфна, — тож кожен кадр КОНФОРМНИЙ: прямий кут між двома кольоровими сім'ями виживає на всьому шляху, скрізь, де похідна не нуль. Золоте пробне коло з двома плечима сидить на області (тягни лівою кнопкою або пусти тур); його образ праворуч — маленьке коло, розтягнуте в |f′| разів і повернуте на arg f′, з плечима досі під прямим кутом. Там, де f′ = 0, кути натомість множаться: образ кола обертається двічі навколо початку у z², тричі у z³, а плечі розкриваються до 180°. Панель вимірює все це по колу й друкує замкнену форму поруч із кожним числом. І ще одне, за чим варто стежити: морф має власні критичні точки, при f′(z) = −(1 − t)/t. Для z² це одна складка, що йде дійсною віссю від −∞ до 0 — вона позначена в області, — і сітка мнеться саме там, і більше ніде.
Рівняння модуля
Рівняння w = f(z), f голоморфна: u_x = v_y, u_y = −v_x (Коші–Рімана), Δu = Δv = 0 конформне там, де f′(z) ≠ 0: мале коло радіуса r → коло радіуса r·|f′|, повернуте на arg f′; кути зберігаються у n-кратній критичній точці кути множаться на n: образ малого кола намотується n разів (2 для z² у 0, 3 для z³) морфінг: g_t(z) = (1 − t)·z + t·f(z), g_t′ = (1 − t) + t·f′ - голоморфне при кожному t; його складки задовольняють f′(z) = −(1 − t)/t (z²: z = −(1 − t)/(2t)) z²: x = c → v² = 4c²(c² − u); 1/z: x = c → |w − 1/(2c)| = 1/(2|c|); e^z: x = c → |w| = e^c, y = c → arg w = c sin z: x = c → u²/sin²c − v²/cos²c = 1, y = c → u²/cosh²c + v²/sinh²c = 1 (фокуси ±1) (z − i)/(z + i): дійсна вісь → одиничне коло, Im z > 0 → |w| < 1; z + 1/z: |z| = 1 → [−2, 2], |z| = R → еліпс (R + 1/R, R − 1/R) принцип аргументу: образ |z| = R обходить навколо 0 рівно (кількість нулів − кількість полюсів) разів округлість образу |z − z₀| = r: z² → 1 + r/(|z₀| − r/2), e^z → e^r точно
