Math
Комплексное отображение
Сетка, морфирующая под z², z³, 1/z, e^z, sin z, отображением Мёбиуса и отображением Жуковского: прямые углы выживают всюду, где f′ ≠ 0, а пробный кружок меряет |f′|, arg f′ и число оборотов в критических точках.
Что происходит
Две панели. Слева плоскость z с квадратной сеткой — вертикали окрашены по своему x, горизонтали по своему y, чтобы каждую линию можно было узнать после того, как функция её согнула. Справа та же сетка после g_t = (1 − t)·z + t·f(z), и t качается 0 → 1 → 0: сетка перетекает в параболы под z², в окружности через начало под 1/z, в лучи и окружности под e^z, в софокусные эллипсы и гиперболы под sin z, в единичный круг под (z − i)/(z + i), в эллипсы Жуковского под z + 1/z — и обратно. Каждый кадр морфа сам голоморфен — сумма голоморфных отображений голоморфна, — и потому каждый кадр КОНФОРМЕН: прямой угол между двумя цветными семействами выживает на всём пути, всюду, где производная не ноль. Золотой пробный кружок с двумя плечами сидит на области (тащи левой кнопкой или пусти тур); его образ справа — маленький кружок, растянутый в |f′| раз и повёрнутый на arg f′, с плечами по-прежнему под прямым углом. Там, где f′ = 0, углы вместо этого умножаются: образ кружка оборачивается дважды вокруг начала у z², трижды у z³, а плечи раскрываются до 180°. Панель меряет всё это по кружку и печатает замкнутую форму рядом с каждым числом. И ещё одно, за чем стоит следить: у морфа есть собственные критические точки, при f′(z) = −(1 − t)/t. Для z² это одна складка, идущая по вещественной оси от −∞ к 0 — она отмечена в области, — и сетка мнётся ровно там, и больше нигде.
Уравнения модуля
Уравнения w = f(z), f голоморфна: u_x = v_y, u_y = −v_x (условия Коши–Римана), Δu = Δv = 0 конформно там, где f′(z) ≠ 0: малая окружность радиуса r → окружность радиуса r·|f′|, повёрнутая на arg f′; углы сохраняются в n-кратной критической точке углы умножаются на n: образ малой окружности обходит n раз (2 для z² в 0, 3 для z³) морфинг: g_t(z) = (1 − t)·z + t·f(z), g_t′ = (1 − t) + t·f′ - голоморфно при каждом t; его складки - решения уравнения f′(z) = −(1 − t)/t (z²: z = −(1 − t)/(2t)) z²: x = c → v² = 4c²(c² − u); 1/z: x = c → |w − 1/(2c)| = 1/(2|c|); e^z: x = c → |w| = e^c, y = c → arg w = c sin z: x = c → u²/sin²c − v²/cos²c = 1, y = c → u²/cosh²c + v²/sinh²c = 1 (фокусы ±1) (z − i)/(z + i): вещественная ось → единичная окружность, Im z > 0 → |w| < 1; z + 1/z: |z| = 1 → [−2, 2], |z| = R → эллипс с полуосями (R + 1/R, R − 1/R) принцип аргумента: образ окружности |z| = R обходит 0 ровно (нули − полюса) раз круглость образа окружности |z − z₀| = r: z² → 1 + r/(|z₀| − r/2), e^z → e^r точно
