Engineering
Paranco composto
Tirate il capo libero di un paranco e sollevate la cassa: confrontate una, due e tre carrucole mobili a pari forza, leggete le tensioni dei tratti e il guadagno meccanico reale contro quello ideale, lasciate la fune e guardate il carico scendere contro l'attrito e l'inerzia delle carrucole.
Cosa succede
Il paranco pende da un portale: un bozzello fisso e uno mobile con lo stesso numero di carrucole, la fune fissata al bozzello fisso, così che 2n tratti portano il carico e il capo libero corre 2n volte più veloce. La fune è senza massa: a ogni carrucola la sua tensione cresce di un fattore 1 + μ·r_a/R nel verso del moto, e l'inerzia di ogni carrucola aggiunge J·j·a/R² al tratto successivo, perché la fune attraversa la carrucola j a j volte la velocità del carico. La statica si risolve ogni millisecondo per l'accelerazione del carico; tra la forza di tenuta e quella di sollevamento l'attrito tiene il carico, in basso lo tiene il suolo, in alto i bozzelli si toccano. Lavoro, altezza, energia cinetica e perdite si chiudono senza attrito fino all'arrotondamento.
Da provare
Tirate più della forza di sollevamento e la cassa sale; scendete sotto la forza di tenuta e torna giù. Confrontate il numero di tratti con il guadagno reale e la velocità del capo libero con quella del carico.
Il modello e i suoi limiti
Fune senza massa, senza allungamento né rigidezza flessionale, attrito secco dei perni a rapporto fisso, nessuno slittamento della fune sulla carrucola. Non il dimensionamento di un paranco reale.
Equazioni del modulo
Equazioni v_free = 2n·v, k = 1 + μ·r_a/R T_(j+1) = k·T_j + J·j·a/R², Σ T_j = M·(g + a) m_eff = M + J·n(n+1)(2n+1)/(6R²) MA = M·g/F_raise, η = MA/(2n)
