Engineering
Водяные часы
Выпускайте воду из сосуда через маленькое отверстие и измеряйте время по поплавку, который поднимается в приёмном сосуде. Сравните цилиндр, конус и профилированный сосуд, поддерживайте постоянный напор с помощью бака с переливом и откалибруйте шкалу, чтобы часы шли точно.
Что происходит
Вода вытекает из верхнего сосуда через отверстие диаметром 1,6 мм с коэффициентом расхода 0,62 в стеклянный приёмный сосуд радиусом 0,1 м, где поплавок массой 0,4 кг всплывает и поднимает зубчатую рейку; её шестерня поворачивает стрелку циферблата на полный оборот за каждые 0,4 м подъёма. Истечение подчиняется закону Torricelli, Q = C_d·a·sqrt(2gh): 3,49 мл/с при напоре 0,4 м. Равномерную шкалу размечают по начальной скорости, калиброванную — по пробному прогону самих часов.
Если цилиндр радиусом 0,1 м наполнить до 0,4 м, расход падает вместе с напором: через 30 мин циферблат с равномерной шкалой отстаёт на 225 с, через час — на 900 с, через 90 мин — на 2026 с, а цилиндр опорожняется за 2 ч. В конусе, расширяющемся кверху, уровень сначала опускается медленнее: его циферблат через 30 мин отстаёт на 137 с, тогда как шкала на его стенке спешит на 280 с. В профилированном сосуде, радиус которого растёт как корень четвёртой степени из высоты, уровень опускается с постоянной скоростью 0,070 мм/с, поэтому шкала на его стенке равномерна; он опорожняется за 96 мин. Бак постоянного напора, в который подаётся 9 мл/с, держит уровень на 0,8 мм выше кромки переливной трубы: расход истечения остаётся равным 3,50 мл/с, остальное уходит в перелив, а через час циферблат спешит всего на 3,7 с. Приёмный сосуд вмещает 15,3 л.
Модель: квазистационарное истечение через отверстие по Torricelli и водослив на кромке переливной трубы; поплавок лежит на дне, пока вода не дойдёт до его осадки 26 мм; поверхностное натяжение, температура и вязкость не учитываются. RK4 с шагом 0,1 с; вода не возникает и не теряется.
Что попробовать
Запустите опыт с цилиндром и сравните циферблат с часами на тумбе; затем попробуйте конус, профилированный сосуд и бак постоянного напора. Включите калиброванную шкалу и посмотрите, как исчезает погрешность.
Уравнения модуля
Уравнения Q = C_d·a·sqrt(2g·h) A(h)·dh/dt = Q_supply − Q − Q_overflow Q_overflow = C_w·L·sqrt(2g)·(h − h_lip)^(3/2) rise = (V_receiver − V_draft)/A_receiver, hand = rise/r_pinion
