Engineering
Hängebrücke unter Last
Parken Sie einen Lastwagen auf der Fahrbahn oder lassen Sie ihn über die Brücke fahren, und beobachten Sie, wie sich die Fahrbahn durchbiegt und die Kabel sich bewegen – vierzigfach vergrößert. Lesen Sie an den Farben der Hänger ab, welche stärker ziehen und welche erschlaffen. Durchtrennen Sie einen Hänger, verkürzen Sie die Kabel oder machen Sie die Fahrbahn leichter, und sehen Sie, wie die Brücke nach einer schnellen Überfahrt schwingt.
Was passiert
Ein Hauptfeld von 200 m Spannweite hängt an zwei Tragkabeln mit 20 m Durchhang zwischen Pylonen, die 25 m über die Fahrbahn aufragen; neunzehn Hängerpaare im Abstand von 10 m tragen eine versteifte Fahrbahn von 8 t je Meter. Die Form des Kabels ist das Seilpolygon der Lasten, die es trägt; deshalb bleibt die Fahrbahn unter Eigengewicht gerade, und das Kabel zieht mit H = 21,1 MN waagerecht an den Pylonen. Die Fahrbahn ist ein Balken mit EI = 2·10¹⁰ N·m², das Kabel eine Kette steifer Stäbe, die Hänger sind Stäbe, die nur Zug aufnehmen können; das Ganze wird unter Berücksichtigung großer Verschiebungen berechnet – mit dem Newton-Verfahren für die statischen Zustände und mit dem Newmark-Verfahren für die Bewegung.
Ein Lastwagen von 40 t, der in Feldmitte steht, drückt die Fahrbahn dort um 65,2 mm nach unten – weniger als 1 % Abweichung von Melans Verformungstheorie. Steht er im Viertelpunkt, senkt sich die Fahrbahn dort um 111,5 mm, während sie sich im anderen Viertelpunkt um 75,3 mm hebt: Das Kabel kann sich kaum dehnen, also ändert es seine Form. Ein durchtrennter Hänger bei 60 m lässt die Fahrbahn dort um 25 mm absinken; seine Nachbarn übernehmen seine Last. Wird das Kabel um 0,05 % verkürzt, hebt sich die Feldmitte um 204 mm. Eine leichtere Fahrbahn von 4 t/m spannt das Kabel weniger und ergibt unter demselben Lastwagen eine Durchbiegung von 74,0 mm. Die beiden niedrigsten Eigenformen schwingen mit 2,22 und 3,80 rad/s. Eine langsame Überfahrt biegt die Fahrbahn so durch wie der stehende Lastwagen; nach einer schnellen schwingt sie weiter.
Modell: ein ebenes Tragwerk – die Fahrbahn aus Euler-Bernoulli-Balkenelementen, Kabel und Hänger als gelenkig angeschlossene Stäbe, die Pylone als Festpunkte; Rayleigh-Dämpfung, abgestimmt auf den gewählten Dämpfungsgrad der beiden niedrigsten Eigenformen; Newmark-Verfahren mit konstanter mittlerer Beschleunigung und modifiziertem Newton-Verfahren, Zeitschritt 0,02 s. Die Bewegungen sind 40-fach vergrößert gezeichnet.
Zum Ausprobieren
Parken Sie den Lastwagen in Feldmitte und lesen Sie die Durchbiegung ab, dann im Viertelpunkt: Die andere Hälfte hebt sich. Lassen Sie ihn ohne Dämpfung schnell hinüberfahren und beobachten Sie, wie die Brücke weiterschwingt.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen H = M_mid/f M·q″ + C·q′ + f_int(q) = f_ext(t) N = EA·(l − l₀)/l₀ ≥ 0 in a hanger C = α·M + β·K
