Math
Ensembles de Julia
L'ensemble de Julia rempli de z² + c comme une île vivante : fais glisser c sur la carte de Mandelbrot, regarde l'île changer de forme - et se briser en poussière dès que l'orbite critique s'échappe.
Ce qui se passe
Un point décide de toute la forme. La carte à gauche est le plan des paramètres avec l'ensemble de Mandelbrot ; le repère doré est c, et le relief au centre est l'ensemble de Julia rempli de z² + c - une île dont l'intérieur ne s'échappe jamais, l'extérieur retombant le long du potentiel. Un théorème porte le module (Fatou-Julia) : l'île est connexe exactement quand l'orbite du point critique 0 reste bornée - une seule orbite dorée, bondissant au-dessus du relief, répond pour tous les points à la fois. Dans la cardioïde principale, l'orbite se pose sur un point fixe dont le multiplicateur est le paramètre λ de la cardioïde lui-même ; dans le disque |c + 1| inférieur à 1/4, sur un 2-cycle de multiplicateur 4(c + 1) en forme close ; au lapin et à l'avion - racines de c³ + 2c² + c + 1 - le cycle est de période 3. Pousse c hors de l'ensemble de Mandelbrot : l'île se brise en poussière de Cantor à l'instant même où l'orbite s'envole. Le panneau mesure la période, le multiplicateur et l'aire de l'île : π en c = 0, où l'île est le disque unité.
Équations du module
Équations z → z² + c ; ensemble rempli : tout z dont l'orbite ne s'échappe jamais Fatou-Julia : connexe lorsque l'orbite de 0 est bornée - poussière de Cantor sinon cardioïde c = λ/2 − λ²/4, |λ| inférieur à 1 : un point fixe attire, son multiplicateur EST λ période 2 : le cycle est solution de z² + z + c + 1 = 0, multiplicateur 4(c + 1) : le disque |c + 1| inférieur à 1/4 centres de période-3 : c³ + 2c² + c + 1 = 0 - le lapin et l'avion fonction de Green : G = lim log|z_n|/2^n, G(z² + c) = 2·G(z), G = 0 sur l'ensemble rempli
