Math
Zbiory Julii
Wypełniony zbiór Julii dla z² + c jako żywa wyspa: przeciągnij c po mapie Mandelbrota, patrz, jak wyspa zmienia kształt - i rozsypuje się w pył, gdy tylko orbita krytyczna ucieka.
Co się dzieje
Jeden punkt decyduje o całym kształcie. Mapa po lewej to płaszczyzna parametrów ze zbiorem Mandelbrota; złoty znacznik to c, a relief pośrodku to wypełniony zbiór Julii dla z² + c - wyspa, której wnętrze nigdy nie ucieka, z zewnętrzem opadającym wzdłuż potencjału. Moduł niesie jedno twierdzenie (Fatou-Julia): wyspa jest spójna dokładnie wtedy, gdy orbita punktu krytycznego 0 pozostaje ograniczona - jedna złota orbita, skacząca nad reliefem, odpowiada za wszystkie punkty naraz. W głównej kardioidzie orbita osiada na punkcie stałym, którego mnożnik to sam parametr kardioidy λ; w kole |c + 1| poniżej 1/4 - na 2-cyklu z mnożnikiem 4(c + 1) w postaci zamkniętej; u królika i samolotu - pierwiastków c³ + 2c² + c + 1 - cykl ma okres 3. Wypchnij c poza zbiór Mandelbrota, a wyspa rozsypie się w pył Cantora w tej samej chwili, w której orbita odlatuje. Panel mierzy okres, mnożnik i pole wyspy: π przy c = 0, gdzie wyspa jest kołem jednostkowym.
Równania modułu
Równania z → z² + c; zbiór wypełniony: każde z, którego orbita nigdy nie ucieka dychotomia Fatou-Julii: zbiór spójny, gdy orbita 0 jest ograniczona - w przeciwnym razie pył Cantora kardioida c = λ/2 − λ²/4, |λ| poniżej 1: punkt stały przyciąga, jego mnożnik JEST równy λ okres 2: cykl spełnia z² + z + c + 1 = 0, mnożnik 4(c + 1): dysk |c + 1| poniżej 1/4 centra okresu-3: c³ + 2c² + c + 1 = 0 - królik i samolot funkcja Greena: G = lim log|z_n|/2^n, G(z² + c) = 2·G(z), G = 0 na zbiorze wypełnionym
