Math
Julia-Mengen
Die gefüllte Julia-Menge von z² + c als lebende Insel: zieh c über die Mandelbrot-Karte, sieh die Insel sich verformen - und zu Staub zerfallen, sobald die kritische Bahn entkommt.
Was passiert
Ein Punkt entscheidet die ganze Form. Die Karte links ist die Parameterebene mit der Mandelbrot-Menge; die goldene Marke ist c, und das Relief in der Mitte ist die gefüllte Julia-Menge von z² + c - eine Insel, deren Inneres nie entkommt, während das Äußere entlang des Potentials abfällt. Ein Satz trägt das Modul (Fatou-Julia): die Insel ist genau dann zusammenhängend, wenn die Bahn des kritischen Punktes 0 beschränkt bleibt - eine goldene Bahn, die über das Relief hüpft, antwortet für alle Punkte zugleich. In der Hauptkardioide landet sie auf einem Fixpunkt, dessen Multiplikator der Kardioidenparameter λ selbst ist; in der Scheibe |c + 1| unter 1/4 auf einem 2-Zyklus mit Multiplikator 4(c + 1) in geschlossener Form; bei Kaninchen und Flugzeug - den Wurzeln von c³ + 2c² + c + 1 - hat der Zyklus Periode 3. Schieb c aus der Mandelbrot-Menge hinaus, und die Insel zerfällt zu Cantor-Staub in dem Moment, in dem die Bahn davonfliegt. Die Tafel misst Periode, Multiplikator und die Fläche der Insel: π bei c = 0, wo die Insel die Einheitsscheibe ist.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen z → z² + c; gefüllte Menge: jedes z, dessen Bahn nie entkommt Fatou-Julia: zusammenhängend, wenn die Bahn von 0 beschränkt ist; sonst Cantor-Staub Kardioide c = λ/2 − λ²/4, |λ| unter 1: ein Fixpunkt ist anziehend, sein Multiplikator IST λ Periode 2: der Zyklus löst z² + z + c + 1 = 0, Multiplikator 4(c + 1): die Scheibe |c + 1| unter 1/4 Periode-3-Zentren: c³ + 2c² + c + 1 = 0, das Kaninchen und das Flugzeug Green: G = lim log|z_n|/2^n, G(z² + c) = 2·G(z), G = 0 auf der gefüllten Menge
