Math
Droite de Simson
Aplatissez un triangle podaire coloré en droite de Simson. Parcourez ensuite le cercle et découvrez la deltoïde de Steiner derrière la famille de droites.
Ce qui se passe
Glissez P sur le cercle bleu. Le triangle podaire coloré s’aplatit en une droite ; écartez P du cercle pour retrouver son aire. Déplacez P sur le cercle ou lancez un tour. Les droites bleues s’accumulent pour ce triangle ; affichez séparément l’enveloppe rose calculée. H1, H2, H3 sont les projections orthogonales sur les droites des côtés, prolongements compris. Ils sont alignés si et seulement si P est sur le cercle circonscrit. Le rapport des aires est |1−ρ²|/4. Pour un triangle fixe, les droites de Simson enveloppent une deltoïde de Steiner. Courte trace, droites bleues accumulées et courbe rose calculée sont distinctes. Glissez P librement ou sur le cercle. C suit l’arc 35°–145° ; A et B sont fixes. Modifier C efface les anciennes droites. Glisser à droite déplace, la molette zoome ; cliquez sur les nombres pour une saisie exacte. Pause et déplacement manuel arrêtent la rotation.
À essayer
Déplacez les points marqués ou changez les paramètres. Les changements manuels arrêtent l’animation.
Équations du module
Équations H = A + (B−A) ((P−A)·(B−A)) / |B−A|² ρ = OP/R ; S(podaire)/S(ABC) = |1−ρ²|/4 ρ = 1 ⇔ H1,H2,H3 alignés (ABC non dégénéré) O = 0; A = R exp(ia), B = R exp(ib), C = R exp(ic); Σ = a+b+c N = (A+B+C)/2; z(φ) = N + R exp(iφ) + (R/2) exp(i(Σ−2φ)) direction(Simson) = (Σ−φ)/2 mod π ; z(φ) est sur cette droite z′(φ) = iR [exp(iφ)−exp(i(Σ−2φ))] ; points de rebroussement : 3φ = Σ mod 2π ABC reste fixe pendant chaque famille accumulée ; changer C efface son historique
