Math
Simson-Gerade
Lassen Sie das farbige Fußpunktdreieck zur Simson-Geraden schrumpfen. Umkreisen Sie dann das feste Dreieck und entdecken Sie die Steiner-Deltoide der Geradenfamilie.
Was passiert
Ziehen Sie P auf den blauen Kreis. Das gefüllte Fußpunktdreieck schrumpft zu einer Geraden; außerhalb des Kreises hat es wieder Fläche. Bewegen Sie P auf dem Kreis oder starten Sie eine Umdrehung. Blaue Geraden sammeln sich für dieses Dreieck; die rosa Hüllkurve wird getrennt eingeblendet. H1, H2, H3 sind Lotfußpunkte auf den Seitengeraden samt Verlängerungen. Sie sind genau dann kollinear, wenn P auf dem Umkreis liegt. Das Flächenverhältnis ist |1−ρ²|/4. Für ein festes Dreieck umhüllen die Simson-Geraden eine Steiner-Deltoide. Kurze Spur, blaue Geradenfamilie und berechnete rosa Kurve sind getrennte Objekte. P lässt sich frei oder auf dem Kreis ziehen. C bewegt sich auf dem Bogen 35°–145°; A und B sind fest. Eine Änderung von C löscht alte Geraden. Rechts ziehen verschiebt, das Rad zoomt; Zahlen anklicken zur genauen Eingabe. Pause und Ziehen stoppen die Drehung.
Zum Ausprobieren
Ziehe die markierten Punkte oder ändere die Parameter. Manuelle Änderungen stoppen die Animation.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen H = A + (B−A) ((P−A)·(B−A)) / |B−A|² ρ = OP/R; S(Fußpunktdreieck)/S(ABC) = |1−ρ²|/4 ρ = 1 ⇔ H1,H2,H3 kollinear (nichtentartetes ABC) O = 0; A = R exp(ia), B = R exp(ib), C = R exp(ic); Σ = a+b+c N = (A+B+C)/2; z(φ) = N + R exp(iφ) + (R/2) exp(i(Σ−2φ)) direction(Simson) = (Σ−φ)/2 mod π; z(φ) liegt auf dieser Geraden z′(φ) = iR [exp(iφ)−exp(i(Σ−2φ))]; Spitzen: 3φ = Σ mod 2π ABC bleibt während jeder angesammelten Schar fest; eine Änderung von C löscht ihren Verlauf
