Math
Прямая Симсона
Схлопните цветной педальный треугольник в прямую Симсона. Затем обведите P вокруг фиксированного треугольника и откройте дельтоиду Штейнера за семейством прямых.
Что происходит
Перетащите P на синюю окружность. Залитый педальный треугольник схлопнется в прямую; сдвиньте P с окружности, чтобы вернуть площадь. Двигайте P по окружности или запустите оборот. Синие прямые накапливаются для этого треугольника; розовую вычисленную огибающую включите отдельно. H1, H2, H3 — основания перпендикуляров на прямые сторон, включая продолжения. Они коллинеарны тогда и только тогда, когда P на описанной окружности. Отношение площадей равно |1−ρ²|/4. Для фиксированного треугольника прямые Симсона огибают дельтоиду Штейнера. Короткий след, накопленные синие прямые и вычисленный розовый контур — разные объекты. Тяните P свободно или по окружности. C движется по дуге 35°–145°; A и B закреплены. Изменение C очищает старые прямые. ПКМ сдвигает, колесо масштабирует; щёлкните число для точного ввода. Пауза и ручное движение останавливают оборот.
Что попробовать
Переместите P на описанную окружность. Три основания перпендикуляров выстроятся на прямой. Вне окружности они образуют педальный треугольник; его площадь сравнивается с точной формулой.
Уравнения модуля
Уравнения H = A + (B−A) ((P−A)·(B−A)) / |B−A|² ρ = OP/R; S(педальный)/S(ABC) = |1−ρ²|/4 ρ = 1 ⇔ H1,H2,H3 лежат на одной прямой (невырожденный треугольник ABC) O = 0; A = R exp(ia), B = R exp(ib), C = R exp(ic); Σ = a+b+c N = (A+B+C)/2; z(φ) = N + R exp(iφ) + (R/2) exp(i(Σ−2φ)) direction(Симсона) = (Σ−φ)/2 mod π; z(φ) лежит на этой прямой z′(φ) = iR [exp(iφ)−exp(i(Σ−2φ))]; точки возврата: 3φ = Σ mod 2π треугольник ABC неподвижен на протяжении каждого накопленного семейства; смена C очищает его историю
