160 modules interactifs donnent à voir la géométrie, la topologie, les fractales, l’analyse, l’algèbre, les probabilités et les algorithmes. Faites pivoter une surface, modifiez une construction ou suivez un algorithme pas à pas.
Une chaîne qu'on peut lire - résultat, somme, moyenne - et deux graphiques sur un même axe log n avec un seul curseur : l'écart de la moyenne entre dans un entonnoir de ±2σ/√n, tandis que l'excédent S_n − nμ croît comme √n et ne se pose jamais. Prédis d'abord si l'excédent tend aussi vers zéro, puis laisse la série grandir ; six autres séries dans les mêmes conditions sont à côté. Une série forcée est oubliée par la moyenne et gardée par le compte ; pour la pièce les nombres sont exacts par la binomiale ; et une source de Cauchy, sans moyenne, ne se pose jamais.
Examiner les observations d’un intervalle de confiance. Répéter l’expérience et comparer couverture et largeur des méthodes sur les mêmes échantillons.
Deux mille expériences demandent si une moyenne est nulle ; la part qui rejette à α = 0,05 est comptée. Sans effet c'est 5 % - le taux d'erreur de première espèce - et les valeurs p sont uniformes. Avec un effet c'est la puissance, qui monte avec l'effet et avec n : un demi-σ est trouvé 32 % du temps avec dix observations et 82 % avec trente-quatre. Regarde les données toutes les cinq observations et arrête dès que p passe sous 0,05, et le taux de faux positifs est d'un quart. Tout est compté ; la courbe de Student vient du code.
Monty Hall : changer gagne 2/3 - et seulement 1/2 si l'animateur ne savait pas où était le prix, bien qu'il ait ouvert la même porte. Les deux enfants : « au moins un garçon » rend deux garçons 1/3, « l'aîné est un garçon » 1/2, « un garçon né un mardi » 13/27. La corde de Bertrand : une corde au hasard est plus longue que le côté du triangle avec probabilité 1/3, 1/2 ou 1/4, selon ce que « au hasard » veut dire. Chaque réponse est une fraction exacte et un compte sur vingt mille essais semés, et l'image montre la procédure qui l'a produite.
Il n'y a que quelques façons de fabriquer un nombre aléatoire d'une loi donnée, et toutes partent d'une uniforme. Fais-la passer par l'inverse de la fonction de répartition (exponentielle, Cauchy, triangulaire). Prends-en deux et fais-en une paire de normales (Box-Muller). Lance des fléchettes dans une boîte autour de la densité et garde celles sous la courbe (rejet - la part gardée vaut π/4 pour le demi-cercle). Compte les attentes exponentielles dans une unité de temps (Poisson) ou les piles de dix pièces (binomiale). Suis un jeton numéroté à travers la machine, puis confronte tout l'échantillon à sa courbe exacte.
Explorez l'amplification d'amplitude dans une recherche non structurée. Un oracle de phase change le signe de l'amplitude marquée sans changer les probabilités dans la base de calcul. L'étape de diffusion transforme la phase relative en une probabilité de succès plus élevée. Trop d'itérations réduisent à nouveau cette probabilité.
Quatre petits circuits avec une phase réglable, lus dans la base Z, X ou Y. La phase est une propriété réelle et située de l'état - le vecteur de Bloch parcourt l'équateur avec elle - et dans la mauvaise base elle est totalement invisible : sur un tour complet, le plus grand changement d'une probabilité d'issue vaut 1e-16. Mets un second Hadamard à la fin et la même phase décide la réponse avec certitude. C'est l'interférence, et c'est toute la différence entre un ordinateur quantique et une pièce de monnaie.
La station d'Alice contient un qubit message et la moitié d'une paire partagée ; celle de Bob, l'autre moitié. Parcourez le protocole pas à pas - CNOT, H, mesure - et envoyez les deux bits par un canal ordinaire. Arrêtez-les avant leur arrivée et essayez de les deviner ; puis choisissez la correction de Bob et comparez ce qu'il détient au message. Tant que les bits ne sont pas arrivés, le qubit de Bob vaut I/2 quel que soit le message, et après la mesure Alice ne garde aucune copie.
Une boîte noire calcule f de n bits vers un bit, et on ne peut l'interroger que sur des entrées. Être certain que f est constante ou équilibrée coûte classiquement la moitié de la table plus un appel. Hadamard sur tout, UN appel dont la réponse est un signe, Hadamard de nouveau - et le résultat tout-à-zéro tranche. La table de vérité est cliquable ici, la promesse peut donc être brisée à la main : pour n'importe quelle table la réponse sort avec la probabilité (1 − 2k/N)². Et si la table se trouve être f(x) = s·x, le même appel unique rend s lui-même.
Injectez X, Z ou Y sur une carte 3D, lisez le syndrome et révélez la correction. Comparez l’opérateur logique résiduel et la fidélité de l’entrée, puis confrontez les probabilités exactes aux tirages.
Une table de bois et de laiton montre pourquoi PGCD(a,b)=PGCD(b,r). Reportez le reste, examinez les coefficients exacts de Bézout et les fractions continues, comparez des paires et des échantillons reproductibles.
Un cadran de m marques et une aiguille. L'addition trace une étoile qui se referme après m/pgcd(s, m) coups ; la multiplication, un cycle dont la longueur divise phi(m). Certains modules n'ont aucune racine primitive, et la carte le dit : c'est un théorème, pas une recherche ratée.
Faites le crible à la main sur des tuiles numérotées : prenez le diviseur suivant, prédisez où commence sa vague et regardez-la barrer ses multiples - ceux déjà barrés sont seulement touchés. À côté, pi(x) compté face aux approximations x/ln x et Li(x).
Un message traverse deux puissances modulaires sur une table de bois et de laiton. Exécutez les étapes entières, explorez la permutation et cherchez un diviseur avec un compteur exact.
Une table de tri : les clés sont des étiquettes en papier, un chariot hache chacune et la laisse tomber dans le casier que son hachage nomme, une collision est deux clés différentes dans un même casier. Le hachage est une fonction nommée – somme des codes, polynôme en base 31, FNV-1a – ou l’oracle uniforme derrière la courbe des anniversaires. Modifiez une clé, suivez son hachage caractère par caractère, basculez un bit et comptez les bits du hachage qui bougent ; comparez deux fonctions sur les mêmes clés.
Trois tris parcourent le même tableau à la même vitesse en COMPARAISONS, et le premier arrivé est celui qui a posé le moins de questions. C'est le désordre qui décide, pas la taille : sur une entrée déjà triée, l'insertion prend 63 comparaisons et le tri rapide 2016.
Deux copies d'un labyrinthe, deux parcours, une case par tic. La couche où la largeur trouve une case EST la distance la plus courte : une identité. La profondeur n'est jamais plus courte, et de combien elle l'est dépend de la destination.
Un terrain où un pas coûte le prix de la case où l'on entre, et la vague de sommets fermés s'étend par PRIX et non par distance. Un curseur pose une arête négative sur la carte et possède trois régimes mesurés.
Des tas de pierres et, dessous, leurs chiffres binaires. Une colonne au nombre impair de uns brûle en rouge ; sans colonne rouge, celui qui doit jouer a déjà perdu. La règle est vérifiée en résolvant tout l'arbre du jeu.
Certains modules appartiennent à plusieurs Suites. Chaque expérience partagée a ici une seule description.
