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160 modules interactifs donnent à voir la géométrie, la topologie, les fractales, l’analyse, l’algèbre, les probabilités et les algorithmes. Faites pivoter une surface, modifiez une construction ou suivez un algorithme pas à pas.
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Math
Zoome sur une courbe lisse avec l'échelle verticale liée à l'horizontale et elle se redresse : c'est cela, la dérivée, et la sécante par deux points se couche sur la tangente. Puis la même loupe sur un coin, un point de rebroussement et une courbe dont le taux d'accroissement ne se fixe sur rien - trois échecs différents. Et ce que personne ne dit : en virgule flottante, un pas plus petit cesse d'aider vers 1e-8 puis dégrade la réponse.
Math
Remplis la région sous une courbe avec des bandes et regarde leur nombre croître : tout dépend d'où chaque bande prend sa hauteur, et le trapèze qui suit la courbe est exactement deux fois pire que le rectangle du milieu qui ne la suit pas. Puis le signe : l'intégrale du sinus sur une période vaut zéro et l'aire entre lui et l'axe vaut quatre.
Math
Change de variables dans une intégrale et un facteur apparaît. C'est le déterminant de la dérivée de l'application : le rapport entre l'aire d'une cellule minuscule et celle de son image, mesuré ici sur les polygones eux-mêmes. Le signe est une orientation et non une part du facteur, un déterminant nul signifie un bord effondré, et l'intégrale de |det J| n'est l'aire de l'image que si le recouvrement est simple.
Math
Toute autre façon de calculer donne un nombre probablement juste. L'arithmétique d'intervalles donne un couple certainement juste, et tout le sujet est ce que cela coûte. Cela s'appelle la dépendance : chaque occurrence d'une variable compte comme une variable différente, si bien que x − x sort de largeur deux. L'encadrement appartient à la FORMULE, pas à la fonction.
Math
Coupe une surface par un plan vertical et tu obtiens une courbe ; sa pente est la dérivée dans cette direction. Trace la pente en coordonnées polaires : pour une surface différentiable c'est exactement un cercle dont le gradient est le diamètre. Et une surface ici possède les deux dérivées partielles, une dérivée directionnelle dans toute direction, et aucun plan tangent.
Math
Près de son centre un polynôme de Taylor est indiscernable de la fonction, et chaque terme supplémentaire paie. Plus loin, trois choses différentes échouent : hors du rayon de convergence davantage de termes dégradent la réponse sans limite, exp(−1/x²) a une série qui converge partout et n'est juste qu'en un point, et même dans le rayon la sommation peut perdre tous les chiffres. Le rayon est la distance à une singularité qui n'est pas sur l'axe réel.
Math
Trois comparaisons d’aires : pièces en bois, feuilles souples et vue exacte.
Math
Tirer la poignée β pour incliner le plan. Essayer les quatre coupes puis activer les sphères de Dandelin. Bouton droit : tourner ; molette : zoom. À droite, distances réelles du plan de coupe. Le point mobile mesure foyer/directrice e. Un cercle a e = 0 et aucune directrice finie. q décrit la projection horizontale.
Math
Coupe un solide le long de certaines arêtes et ouvre-le à plat. Les arêtes non coupées doivent garder toutes les faces reliées sans boucle - un arbre couvrant du graphe des faces - et tout arbre de ce genre est un patron. Le solide s'ouvre à ses charnières par rotations composées, l'aire du patron est vérifiée contre la surface, chaque paire de faces est découpée pour prouver qu'aucune ne chevauche, et les patrons sont comptés aux symétries du solide près : deux pour le tétraèdre, onze pour le cube, onze pour son dual.
Math
Un solide de quelques dizaines de faces, et V − E + F relu après chaque modification : trianguler une face, y placer un sommet, couper ou effacer une arête, découper une face, tout raffiner - un journal montre ce que chaque opération fait à V, E et F, et que χ ne bouge que lorsqu'on découpe un trou. Le genre se déduit de χ avec ses conditions énoncées : combien de morceaux, combien de boucles de bord, orientable ou non - sur un ruban de Möbius la formule donne des bonnets croisés à la place.
Math
Ce à quoi ressemble un solide à quatre dimensions vu de l'intérieur de l'espace à trois : seulement sa tranche, et la tranche change tandis que le solide traverse. Un tesseract qui arrive sommet en avant montre un tétraèdre qui grandit, perd ses coins, devient un octaèdre et rétrécit ; cellule en avant, il montre un seul cube pendant tout le passage. Les tranches sont construites à partir des cellules traversées, comptées, mesurées, et leur volume intégré sur le passage est le 4-volume dans toute orientation : Cavalieri, une dimension plus haut.
Math
Au-dessus de chaque point d'une sphère ordinaire se trouve, dans la sphère de dimension quatre, un cercle entier ; ces cercles la remplissent sans jamais se croiser - et pourtant deux quelconques d'entre eux sont enlacés, exactement une fois, quelle que soit la distance entre leurs points. Fais glisser un point sur le petit globe et regarde son cercle bouger dans la grande image ; prends tout un parallèle et les cercles tissent un tore. Le nombre d'enlacement est mesuré par l'intégrale de Gauss, et l'angle entre deux cercles vaut la moitié de l'angle entre leurs points - voilà pourquoi la sphère de Bloch d'un qubit a pour rayon un demi.
Math
Une ligne n'a pas d'aire - et pourtant une courbe peut passer par chaque point d'un carré : Peano en trouva une en 1890, Hilbert dessina la sienne en 1891. À chaque ordre la courbe visite chaque cellule exactement une fois, en avançant d'une cellule à la fois, et la limite est continue. Fais glisser le repère : un dixième de la courbe reste dans environ un tiers du côté - c'est pourquoi bases de données et formats d'images indexent l'espace le long d'une telle courbe. La réciproque est fausse, et le panneau le mesure aussi : deux cellules qui se touchent peuvent être à cinq sixièmes de la courbe l'une de l'autre.
Math
Ajoutez une arête, cherchez un chemin entre deux sommets, puis faites passer c par un. Le réseau et les mesures utilisent la même suite d’arêtes.
Math
Un point rebondit à l'infini contre une paroi avec des angles égaux. Dans un cercle l'angle ne change jamais : la trajectoire évite un cercle plus petit où elle ne peut entrer, et une rotation rationnelle se referme en polygone. Dans un stade - deux demi-cercles reliés par des parois droites - rien ne se conserve que la vitesse, et deux trajectoires écartées d'un milliardième de degré sont séparées d'une largeur de table après vingt rebonds. Le panneau le mesure : l'écart est ajusté par une exponentielle ET par une droite.
Math
Un ordinateur ne peut pas suivre une trajectoire ; il ne peut que faire des pas. Diviser le pas par deux divise l'erreur par deux, quatre ou seize selon la méthode - jusqu'à ce que tant de pas accumulent l'arrondi qu'un pas plus petit rende la réponse PIRE. Sur une orbite, la plus précise des quatre méthodes perd tout de même de l'énergie en ligne droite tandis qu'une moins précise ne fait qu'osciller sans fin : la précision et le respect d'un invariant sont deux vertus différentes. Et dans un système chaotique la trajectoire est perdue quelle que soit la méthode : ce qui survit est l'attracteur.
Math
Une approximation peut épouser une courbe d'aussi près qu'on veut et avoir la mauvaise longueur : un escalier convergeant vers une diagonale est 41 % trop long à chaque raffinement, pour toujours. Une dimension plus haut, c'est pire. La lanterne de Schwarz a tous ses sommets sur un cylindre et des triangles aussi petits qu'on veut, et son aire totale tend vers les vrais 2π, vers cinq fois cela, ou vers l'infini - selon seulement la façon dont ses deux raffinements courent l'un contre l'autre. Ce qui décide n'est pas la taille des morceaux mais leur inclinaison, et le panneau la mesure.
Math
La précision s'achète par le travail, et le taux de change n'est pas une propriété de la méthode. Quatre règles intègrent la même fonction et la monnaie est le nombre de lectures de la fonction : la course se joue sur un graphique de l'erreur contre les évaluations, avec une ligne de tolérance que tu places, après avoir prédit le vainqueur. Sur une fonction lisse, Gauss atteint la précision machine en huit lectures quand la règle des trapèzes en demande soixante-cinq mille ; mets un seul coude dans la fonction et toutes les règles d'ordre élevé retombent dans la même lenteur. Et au-delà de dix millions de termes, les additions elles-mêmes perdent six chiffres.
Math
Les dix-sept groupes de papier peint, chacun bâti d'un ou deux générateurs et appliqué à un motif que tu fais glisser ; les copies réfléchies dans une seconde couleur, pour distinguer à l'œil rotations, réflexions et réflexions glissées. L'ordre du groupe, ses rotations et ses miroirs lus sur les éléments, non sur le nom. Et le dix-huitième motif - les losanges de Penrose - dont le compte des gros et des fins marche vers le nombre d'or.
Math
Additionne des tirages de n'importe quelle forme - un dé, une pièce truquée, deux bosses, la longue queue d'un temps d'attente - et la somme centrée réduite devient la même cloche. Un échantillon est constitué sous tes yeux et devient un point de la série à côté ; la somme, la moyenne et la somme centrée réduite sont trois noms de ce point. Les cumulants d'une somme s'additionnent, donc l'asymétrie décroît en 1/√n et l'excès de kurtosis en 1/n, et la feuille mesure les deux. Et une source casse tout : une Cauchy n'a pas de variance, et aucune cloche n'apparaît jamais.
Certains modules appartiennent à plusieurs Suites. Chaque expérience partagée a ici une seule description.