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160 moduli interattivi mettono in scena geometria, topologia, frattali, analisi, algebra, probabilità e algoritmi. Ruotate una superficie, modificate una costruzione o seguite un algoritmo un passo alla volta.
160 moduli · Pagina 4 / 8
Math
Ingrandisci una curva liscia con la scala verticale legata a quella orizzontale e si raddrizza: questa è la derivata, e la secante per due punti si adagia sulla tangente. Poi la stessa lente su uno spigolo, una cuspide e una curva il cui rapporto incrementale non si assesta su nulla: tre modi diversi di fallire. E la parte che nessuno racconta: in virgola mobile un passo più piccolo smette di aiutare vicino a 1e-8 e poi peggiora la risposta.
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Riempi la regione sotto una curva con strisce e guarda crescere il loro numero: tutto dipende da dove ciascuna prende la sua altezza, e il trapezio che segue la curva è esattamente due volte peggiore del rettangolo del punto medio che non la segue. Poi il segno: l'integrale del seno su un periodo è zero e l'area fra esso e l'asse è quattro.
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Cambia variabili in un integrale e compare un fattore. È il determinante della derivata della mappa: il rapporto fra l'area di una cella minuscola e quella della sua immagine, misurato qui sui poligoni stessi. Il segno è un'orientazione e non parte del fattore, un determinante nullo significa un bordo collassato, e l'integrale di |det J| è l'area dell'immagine solo se la copre una volta sola.
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Ogni altro modo di calcolare dà un numero probabilmente giusto. L'aritmetica degli intervalli dà una coppia sicuramente giusta, e tutto il tema è quanto costa. Si chiama dipendenza: ogni occorrenza di una variabile conta come una variabile diversa, così x − x esce largo due. L'inclusione appartiene alla FORMULA, non alla funzione.
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Taglia una superficie con un piano verticale e ottieni una curva; la sua pendenza è la derivata in quella direzione. Riporta la pendenza in coordinate polari: per una superficie differenziabile è esattamente una circonferenza con il gradiente per diametro. E una superficie qui ha entrambe le derivate parziali, la derivata direzionale in ogni direzione, e nessun piano tangente.
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Vicino al suo centro un polinomio di Taylor è indistinguibile dalla funzione, e ogni termine in più rende. Più lontano falliscono tre cose diverse: fuori dal raggio di convergenza più termini peggiorano la risposta senza limite, exp(−1/x²) ha una serie che converge ovunque ed è giusta in un solo punto, e perfino dentro il raggio la somma può perdere ogni cifra. Il raggio è la distanza da una singolarità che non sta sulla retta reale.
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Trascina il punto β per inclinare il piano. Prova le quattro sezioni e attiva le sfere di Dandelin. Tasto destro: ruota; rotella: zoom. A destra le distanze reali del piano di taglio. Il punto mobile misura fuoco/direttrice e. Il cerchio ha e = 0 e nessuna direttrice finita. q descrive la proiezione orizzontale.
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Taglia un solido lungo alcuni spigoli e aprilo in piano. Gli spigoli non tagliati devono tenere tutte le facce connesse senza un ciclo - un albero ricoprente del grafo delle facce - e ogni albero così è uno sviluppo. Il solido si apre sulle cerniere per rotazioni composte, l'area dello sviluppo è verificata contro la superficie, ogni coppia di facce è ritagliata per provare che nulla si sovrappone, e gli sviluppi si contano a meno delle simmetrie del solido: due per il tetraedro, undici per il cubo, undici per il suo duale.
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Un solido di qualche decina di facce, e V − E + F riletto dopo ogni modifica: triangola una faccia, mettici un vertice, dividi o cancella uno spigolo, ritaglia una faccia, raffinale tutte - un registro mostra cosa fa ogni operazione a V, E e F, e che χ si muove solo quando si ritaglia un buco. Il genere viene da χ con le sue condizioni dichiarate: quanti pezzi, quanti cicli di bordo, orientabile o no - sul nastro di Möbius la formula dà invece cross-cap.
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Come appare un solido a quattro dimensioni da dentro lo spazio tridimensionale: solo la sua fetta, e la fetta cambia mentre il solido attraversa. Un tesseratto che arriva vertice in avanti mostra un tetraedro che cresce, perde gli spigoli, diventa un ottaedro e si restringe; cella in avanti mostra un solo cubo per tutto il passaggio. Le fette sono costruite dalle celle attraversate, contate, misurate, e il loro volume integrato sul passaggio è il 4-volume in ogni orientazione: Cavalieri, una dimensione più su.
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Sopra ogni punto di una sfera ordinaria si trova, nella sfera a quattro dimensioni, un'intera circonferenza; quelle circonferenze la riempiono senza mai incrociarsi - eppure due qualsiasi di esse sono allacciate, esattamente una volta, per quanto lontani stiano i loro punti. Trascina un punto sul piccolo globo e guarda la sua circonferenza muoversi nell'immagine grande; prendi un intero parallelo e le circonferenze tessono un toro. Il numero di allacciamento è misurato con l'integrale di Gauss, e l'angolo fra due circonferenze risulta la metà dell'angolo fra i loro punti - ecco perché la sfera di Bloch di un qubit ha raggio un mezzo.
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Una linea non ha area - eppure una curva può passare per ogni punto di un quadrato: Peano ne trovò una nel 1890, Hilbert disegnò la sua nel 1891. A ogni ordine la curva visita ogni cella esattamente una volta, spostandosi di una cella per passo, e il limite è continuo. Trascina il segnalino: un decimo della curva resta dentro circa un terzo del lato - per questo banche dati e formati d'immagine indicizzano lo spazio lungo una curva simile. L'inverso è falso, e il pannello misura anche quello: due celle che si toccano possono distare cinque sesti della curva.
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Aggiungi un arco, cerca un cammino tra due vertici e osserva c passare per uno. Rete e misure usano la stessa sequenza di archi.
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Un punto rimbalza per sempre dentro una parete con angoli uguali. Nel cerchio l'angolo non cambia mai: la traiettoria evita un cerchio più piccolo in cui non può entrare, e una rotazione razionale si chiude in un poligono. Nello stadio - due semicerchi uniti da pareti diritte - non si conserva nulla tranne la velocità, e due traiettorie partite a un miliardesimo di grado l'una dall'altra distano una larghezza di tavolo dopo venti rimbalzi. Il pannello lo misura: la separazione viene interpolata con un'esponenziale E con una retta.
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Un calcolatore non può seguire una traiettoria; può solo fare passi. Dimezzare il passo divide l'errore per due, quattro o sedici a seconda del metodo - finché i passi non sono così tanti che l'arrotondamento prevale e un passo più piccolo rende la risposta PEGGIORE. Su un'orbita il più accurato dei quattro metodi perde comunque energia in linea retta mentre uno meno accurato si limita a oscillare per sempre: accuratezza e rispetto per un invariante sono virtù diverse. E in un sistema caotico la traiettoria è perduta con qualunque metodo: sopravvive l'attrattore.
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Un'approssimazione può aderire a una curva quanto si vuole e avere la lunghezza sbagliata: una scala che converge a una diagonale è più lunga del 41 % a ogni raffinamento, per sempre. Una dimensione più su è peggio. La lanterna di Schwarz ha ogni vertice su un cilindro e triangoli piccoli quanto si vuole, e la sua area totale tende ai veri 2π, a cinque volte tanto, oppure all'infinito - a seconda soltanto di come i suoi due raffinamenti si rincorrono. A decidere non è la dimensione dei pezzi ma la loro inclinazione, e il pannello la misura.
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La precisione si compra con il lavoro, e il tasso di cambio non è una proprietà del metodo. Quattro regole integrano la stessa funzione e la moneta è quante volte la funzione viene letta: la gara si corre su un grafico dell'errore contro le valutazioni, con una linea di tolleranza che fissi tu, dopo aver previsto il vincitore. Su una funzione liscia Gauss raggiunge la precisione di macchina con otto letture, mentre la regola dei trapezi ne chiede sessantacinquemila; metti un solo spigolo nella funzione e tutte le regole di ordine alto ricadono nella stessa lentezza. E oltre dieci milioni di termini le addizioni stesse perdono sei cifre.
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I diciassette gruppi di carta da parati, ciascuno costruito da uno o due generatori e applicato a un motivo che trascini; le copie riflesse in un secondo colore, per distinguere a occhio rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. L'ordine del gruppo, le sue rotazioni e i suoi specchi letti dagli elementi, non dal nome. E il diciottesimo motivo - i rombi di Penrose - con il conto dei grossi e dei sottili che cammina verso la sezione aurea.
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Somma estrazioni da qualsiasi forma (un dado, una moneta truccata, due gobbe, la lunga coda di un tempo d'attesa) e la somma standardizzata diventa la stessa campana. Un campione si raccoglie sotto i tuoi occhi e diventa un punto della serie accanto; somma, media e somma standardizzata sono tre nomi di quel punto. I cumulanti di una somma si sommano, quindi l'asimmetria cala come 1/√n e la curtosi in eccesso come 1/n, e il foglio misura entrambe. E una sorgente rompe tutto: una Cauchy non ha varianza e la campana non arriva mai.
Alcuni moduli appartengono a più Suites. Ogni esperimento condiviso ha qui una sola descrizione.