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160 interaktive Module machen Geometrie, Topologie, Fraktale, Analysis, Algebra, Wahrscheinlichkeit und Algorithmen sichtbar. Drehen Sie eine Fläche, verändern Sie eine Konstruktion oder verfolgen Sie einen Algorithmus Schritt für Schritt.
160 Module · Seite 4 / 8
Math
Zoom auf eine glatte Kurve, mit der vertikalen Skala an die horizontale gekoppelt, und sie wird gerade: das ist die Ableitung, und die Sekante durch zwei Punkte legt sich auf die Tangente. Dann dieselbe Lupe auf Ecke, Spitze und eine Kurve, deren Differenzenquotient sich auf nichts einpendelt - drei verschiedene Arten zu scheitern. Und der Teil, den niemand erzählt: in Gleitkomma hilft ein kleinerer Schritt ab etwa 1e-8 nicht mehr, sondern schadet.
Math
Füll den Bereich unter einer Kurve mit Streifen und sieh zu, wie ihre Zahl wächst: alles hängt davon ab, wo jeder Streifen seine Höhe nimmt, und das Trapez, das der Kurve folgt, ist genau doppelt so schlecht wie das Rechteck mit der Mitte, das ihr nicht folgt. Dann das Vorzeichen: das Integral des Sinus über eine Periode ist null, die Fläche zwischen ihm und der Achse vier.
Math
Wechsle die Variablen in einem Integral und ein Faktor erscheint. Er ist die Determinante der Ableitung der Abbildung - das Verhältnis der Fläche einer winzigen Zelle zu der ihres Bildes, hier an den Polygonen selbst gemessen. Das Vorzeichen ist eine Orientierung und nicht Teil des Faktors, eine verschwindende Determinante bedeutet eine kollabierte Kante, und das Integral von |det J| ist die Fläche des Bildes nur bei einfacher Überdeckung.
Math
Jede andere Rechenart liefert eine Zahl, die wahrscheinlich stimmt. Intervallarithmetik liefert ein Paar, das sicher stimmt, und das ganze Thema ist der Preis dafür. Er heißt Abhängigkeit: jedes Vorkommen einer Variablen gilt als eigene Variable, also wird x − x zwei Einheiten breit. Die Einschließung gehört damit der FORMEL und nicht der Funktion.
Math
Schneide eine Fläche mit einer senkrechten Ebene und du bekommst eine Kurve; ihre Steigung ist die Ableitung in dieser Richtung. Trage die Steigung in Polarkoordinaten auf: bei einer differenzierbaren Fläche ist das genau ein Kreis mit dem Gradienten als Durchmesser. Und eine Fläche hier hat beide partiellen Ableitungen, in jeder Richtung eine Richtungsableitung - und gar keine Tangentialebene.
Math
Nahe seinem Mittelpunkt ist ein Taylorpolynom von der Funktion nicht zu unterscheiden, und jeder weitere Term zahlt sich aus. Weiter draußen geht dreierlei schief: außerhalb des Konvergenzradius machen mehr Terme die Antwort unbegrenzt schlechter, exp(−1/x²) hat eine Reihe, die überall konvergiert und nur an einem Punkt stimmt, und selbst innerhalb des Radius kann das Summieren jede Stelle verlieren. Der Radius ist der Abstand zu einer Singularität, die gar nicht auf der reellen Achse liegt.
Math
Drei Flächenvergleiche mit Holzteilen, flexiblen Blättern und exakter Draufsicht.
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Den goldenen β-Griff ziehen, um die Ebene zu neigen. Vier Schnitte ausprobieren und Dandelin-Kugeln einschalten. Rechts ziehen dreht; das Rad zoomt. Rechts gelten wahre Abstände in der Schnittebene. Der laufende Punkt misst Fokus/Leitlinie e. Ein Kreis hat e = 0 und keine endliche Leitlinie. q gehört zur horizontalen Projektion.
Math
Schneide einen Körper entlang einiger Kanten auf und breite ihn flach aus. Die ungeschnittenen Kanten müssen alle Flächen ohne Schleife verbunden halten - ein Spannbaum des Flächengraphen -, und jeder solche Baum ist ein Netz. Der Körper öffnet sich an seinen Scharnieren durch verkettete Drehungen, die Netzfläche wird an der Oberfläche geprüft, jedes Flächenpaar wird geschnitten, um Überlappungsfreiheit zu belegen, und die Netze werden bis auf die Symmetrien des Körpers gezählt: zwei beim Tetraeder, elf beim Würfel, elf bei seinem Dual.
Math
Ein Körper aus einigen Dutzend Flächen, und V − E + F nach jeder Änderung abgelesen: eine Fläche triangulieren, eine Ecke hineinsetzen, eine Kante teilen oder löschen, eine Fläche ausschneiden, alle verfeinern - ein Protokoll zeigt, was jede Operation mit V, E und F macht und dass χ sich nur beim Ausschneiden eines Lochs bewegt. Das Geschlecht folgt aus χ mit genannten Bedingungen: wie viele Stücke, wie viele Randschleifen, orientierbar oder nicht - auf dem Möbiusband liefert die Formel stattdessen Kreuzhauben.
Math
Wie ein vierdimensionaler Körper aus dem dreidimensionalen Raum heraus aussieht: nur als seine Scheibe, und die Scheibe ändert sich, während der Körper hindurchzieht. Ein Tesserakt, der eckenvoran kommt, zeigt ein Tetraeder, das wächst, seine Ecken verliert, zum Oktaeder wird und wieder schrumpft; zellenvoran zeigt er einen Würfel für die ganze Passage. Die Scheiben werden aus den geschnittenen Zellen gebaut, gezählt, gemessen, und ihr über die Passage integriertes Volumen ist in jeder Orientierung das 4-Volumen - Cavalieri, eine Dimension höher.
Math
Über jedem Punkt einer gewöhnlichen Kugel liegt in der vierdimensionalen Sphäre ein ganzer Kreis, und diese Kreise füllen sie vollständig aus, ohne sich je zu schneiden - dennoch sind je zwei von ihnen verschlungen, genau einmal, wie weit ihre Punkte auch auseinanderliegen. Ziehe einen Punkt auf dem kleinen Globus und sieh zu, wie sein Kreis im großen Bild mitwandert; nimm einen ganzen Breitenkreis, und die Kreise weben einen Torus. Die Verschlingungszahl wird mit dem Gaußschen Integral gemessen, und der Winkel zwischen zwei Kreisen ist halb so groß wie der zwischen ihren Punkten - darum hat die Bloch-Kugel eines Qubits den Radius ein halb.
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Eine Linie hat keine Fläche - und doch kann eine Kurve durch jeden Punkt eines Quadrats laufen: Peano fand 1890 eine, Hilbert zeichnete 1891 seine. In jeder Ordnung besucht die Kurve jede Zelle genau einmal und rückt dabei um eine Zelle weiter; der Grenzwert ist stetig. Zieh die Marke: ein Zehntel der Kurve bleibt in etwa einem Drittel der Seite - darum indizieren Datenbanken und Bildformate den Raum entlang einer solchen Kurve. Die Umkehrung gilt nicht, und die Leiste misst auch das: zwei benachbarte Zellen können fünf Sechstel der Kurve auseinanderliegen.
Math
Fügen Sie eine Kante hinzu, suchen Sie einen Weg zwischen zwei Knoten und führen Sie c durch eins. Netz und Messwerte beruhen auf derselben Kantenfolge.
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Ein Punkt springt in einer geschlossenen Wand ewig mit gleichen Winkeln umher. Im Kreis ändert sich der Winkel nie: die Bahn meidet einen kleineren Kreis, den sie nie betreten kann, und eine rationale Drehung schließt sich zu einem Vieleck. Im Stadion - zwei Halbkreise, verbunden durch gerade Wände - bleibt nichts erhalten außer der Geschwindigkeit, und zwei Bahnen, die ein Milliardstel Grad auseinanderstarten, sind nach zwanzig Reflexionen eine Tischbreite voneinander entfernt. Die Leiste misst das: die Trennung wird gegen eine Exponentialfunktion UND gegen eine Gerade gefittet.
Math
Ein Rechner kann keiner Bahn folgen; er kann nur Schritte machen. Den Schritt zu halbieren teilt den Fehler je nach Verfahren durch zwei, vier oder sechzehn - bis so viele Schritte anfallen, dass die Rundung überwiegt und ein kleinerer Schritt die Antwort SCHLECHTER macht. Auf einer Bahn verliert das genaueste der vier Verfahren dennoch geradlinig Energie, während ein ungenaueres bloß ewig schwankt: Genauigkeit und Achtung vor einer Erhaltungsgröße sind verschiedene Tugenden. Und in einem chaotischen System ist der Weg verloren, ganz gleich mit welchem Verfahren: es überlebt der Attraktor, nicht die Bahn.
Math
Eine Näherung kann sich einer Kurve beliebig eng anschmiegen und dennoch die falsche Länge haben: eine Treppe, die gegen eine Diagonale konvergiert, ist bei jeder Verfeinerung 41 % zu lang, für immer. Eine Dimension höher ist es schlimmer. Schwarz' Laterne hat jeden Eckpunkt auf einem Zylinder und beliebig kleine Dreiecke, und ihre Gesamtfläche strebt gegen die wahren 2π, gegen das Fünffache davon oder gegen unendlich - je nachdem, wie ihre beiden Verfeinerungen um die Wette laufen. Entscheidend ist nicht die Größe der Stücke, sondern ihre Neigung, und die Leiste misst sie.
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Genauigkeit wird mit Arbeit bezahlt, und der Wechselkurs ist keine Eigenschaft des Verfahrens. Vier Regeln integrieren dieselbe Funktion, und die Währung ist, wie oft die Funktion gelesen wird: Das Rennen läuft auf einem Diagramm des Fehlers gegen die Auswertungen mit einer Toleranzlinie, die du setzt, nachdem du den Sieger vorhergesagt hast. Auf einer glatten Funktion erreicht Gauß mit acht Lesungen die Maschinengenauigkeit, die Trapezregel braucht fünfundsechzigtausend; ein einziger Knick in der Funktion, und jede Regel hoher Ordnung fällt in dasselbe Kriechen. Und nach zehn Millionen Termen verlieren die Additionen selbst sechs Stellen.
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Die siebzehn Ornamentgruppen, jede aus ein oder zwei Erzeugern gebaut und auf ein Motiv angewandt, das du ziehst; gespiegelte Kopien in einer zweiten Farbe, sodass Drehungen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen mit dem Auge zu unterscheiden sind. Ordnung, Drehungen und Spiegel der Gruppe an den Elementen abgelesen, nicht am Namen. Und das achtzehnte Muster - Penrose-Rauten - mit Zahlen dicker und dünner Rauten, die zum goldenen Schnitt wandern.
Math
Addiere Ziehungen aus irgendeiner Form - ein Würfel, eine gezinkte Münze, zwei Höcker, der lange Schwanz einer Wartezeit - und die standardisierte Summe wird zur selben Glocke. Eine Stichprobe wird vor deinen Augen gesammelt und wird ein Punkt der Serie daneben; Summe, Mittelwert und standardisierte Summe sind drei Namen dieses Punkts. Kumulanten einer Summe addieren sich, also fällt die Schiefe wie 1/√n und die Exzess-Kurtosis wie 1/n, und das Blatt misst beide. Und eine Quelle bricht es: Eine Cauchy hat keine Varianz, und keine Glocke erscheint je.
Einige Module gehören zu mehreren Suites. Gemeinsame Experimente haben hier eine einzige Beschreibung.