Доступно для Windows
160 інтерактивних модулів показують геометрію, топологію, фрактали, математичний аналіз, алгебру, ймовірність та алгоритми. Оберніть поверхню, змініть побудову або простежте алгоритм крок за кроком.
160 модулів · Сторінка 4 / 8
Math
Наблизь гладку криву, зачепивши вертикальний масштаб за горизонтальний, — і вона випрямиться: це і є похідна, а січна через дві точки лягає на дотичну. Потім та сама лупа на злам, вістря й криву, чиє різницеве відношення ні до чого не сходиться, — три різні відмови. І те, про що не кажуть: у рухомій комі менший крок перестає допомагати біля 1e-8 і далі робить відповідь гіршою.
Math
Заповни область під кривою смугами й дивись, як росте їх число: усе вирішує те, звідки кожна бере висоту, і трапеція, що йде по кривій, рівно вдвічі гірша за прямокутник із серединою, який по ній не йде. Потім знак: інтеграл синуса за період дорівнює нулю, а площа між ним і віссю — чотирьом.
Math
Заміни змінні в інтегралі — з'явиться множник. Це визначник похідної відображення: відношення площі крихітної клітинки до площі її образу, виміряне тут на самих многокутниках. Знак є орієнтацією, а не частиною множника, нульовий визначник означає схлопнуте ребро, а інтеграл |det J| дорівнює площі образу лише за однократного покриття.
Math
Будь-який інший спосіб рахувати дає число, яке, найпевніше, правильне. Інтервальна арифметика дає пару, яка правильна напевно, і весь предмет — у ціні цього. Ціна зветься залежністю: кожне входження змінної вважається окремою змінною, тож x − x виходить завширшки два. Охоплення належить ФОРМУЛІ, а не функції.
Math
Розріж поверхню вертикальною площиною — отримаєш криву, і її нахил є похідною в цьому напрямку. Відклади нахил у полярних координатах: у диференційовної поверхні це рівно коло з градієнтом як діаметром. А одна поверхня тут має обидві часткові похідні, напрямлену похідну за кожним напрямком — і жодної дотичної площини.
Math
Біля свого центру многочлен Тейлора невідрізненний від функції, і кожен зайвий член окупається. Далі ламається трьома різними способами: за радіусом збіжності більше членів робить відповідь гіршою без межі, у exp(−1/x²) ряд збігається всюди і збігається з функцією в одній точці, і навіть усередині радіуса підсумовування здатне викинути всі цифри. Радіус — це відстань до особливості, якої на дійсній прямій немає.
Math
Три способи порівняти площі: дерев’яні деталі, гнучкі аркуші й точний вигляд згори.
Math
Потягніть золотий маркер β, щоб нахилити площину. Спробуйте чотири перерізи й увімкніть сфери Данделена. Права кнопка обертає, колесо наближає. Праворуч — справжні відстані в січній площині. Рухома точка вимірює відношення фокус/директриса e. Коло має e = 0 і не має скінченної директриси. q описує горизонтальну проєкцію.
Math
Розріж многогранник по частині ребер і розгорни на площину. Нерозрізані ребра мають тримати всі грані зв'язаними й без петель — кістякове дерево графа граней, — і кожне таке дерево є розгорткою. Тіло розкривається по шарнірах складеними поворотами, площа розгортки звіряється з поверхнею, кожна пара граней відтинається одна об одну, щоб довести відсутність накладань, а розгортки лічаться з точністю до симетрій тіла: дві в тетраедра, одинадцять у куба, одинадцять у його двоїстого.
Math
Тіло з кількох десятків граней і V − E + F, прочитане після кожної правки: тріангулюй грань, постав у неї вершину, розділи чи зітри ребро, виріж грань, подрібни всі — журнал показує, що кожна операція робить з V, E та F і що χ змінюється лише тоді, коли вирізано діру. Рід виводиться з χ з названими умовами: скільки шматків, скільки граничних петель, чи орієнтовна поверхня — на стрічці Мебіуса формула дає замість роду кількість плівок.
Math
Як чотиривимірне тіло виглядає зсередини тривимірного простору: лише своїм перерізом, і переріз змінюється, поки тіло проходить. Тесеракт, що йде вершиною вперед, показує тетраедр, який росте, втрачає кути, стає октаедром і стискається назад; коміркою вперед — один куб на весь прохід. Перерізи побудовані з перетнутих комірок, полічені, виміряні, і їхній об'єм, проінтегрований по проходу, — чотиривимірний об'єм у будь-якій орієнтації: Кавальєрі на вимір вище.
Math
Над кожною точкою звичайної сфери у чотиривимірній сфері висить ціле коло, і ці кола заповнюють її повністю, жодного разу не перетинаючись, — але будь-які два з них зачеплені, рівно один раз, хоч би як далеко розійшлися їхні точки. Потягни точку по маленькому глобусі й дивись, як її коло їде на великій картині; візьми цілу паралель — і кола сплітають тор. Коефіцієнт зачеплення вимірюється інтегралом Гаусса, а кут між двома колами виходить удвічі меншим за кут між їхніми точками — саме тому сфера Блоха кубіта має радіус одна друга.
Math
У лінії немає площі — і все ж крива може пройти через кожну точку квадрата: Пеано знайшов таку в 1890 році, Гільберт намалював свою в 1891-му. На кожному порядку крива обходить усі клітинки рівно по разу, зсуваючись на одну клітинку за крок, і границя неперервна. Потягни мітку: десята частина кривої лишається всередині приблизно третини сторони — по такій кривій і індексують простір бази даних та формати зображень. Обернене неправильне, і панель це теж вимірює: дві дотичні клітинки можуть відстояти на п’ять шостих кривої.
Math
Додайте ребро, знайдіть шлях між двома вершинами, потім проведіть c через одиницю. Мережа й усі числа використовують одну послідовність ребер.
Math
Точка вічно відскакує від стінки з рівними кутами. У колі кут не змінюється: шлях обходить менше коло, до якого не може ввійти, а раціональний поворот замикається в многокутник. У стадіоні — два півкола, з’єднані прямими стінками — не зберігається нічого, крім швидкості, і два шляхи, що розійшлися на мільярдну частку градуса, через двадцять відскоків рознесені на ширину столу. Панель це вимірює: розліт підганяється і експонентою, і прямою.
Math
Комп’ютер не вміє слідувати траєкторії — він уміє робити кроки. Зменшення кроку вдвічі ділить похибку на два, чотири або шістнадцять залежно від методу — доки кроків не стане стільки, що накопичене округлення переважить, і менший крок зробить відповідь ГІРШОЮ. На орбіті найточніший із чотирьох методів усе одно втрачає енергію по прямій, а менш точний лише коливається вічно: точність і повага до інваріанта — різні чесноти. А в хаотичній системі шлях приречений за будь-якого методу: переживає атрактор.
Math
Наближення може притискатися до кривої скільки завгодно близько і мати хибну довжину: драбина, що збігається до діагоналі, на 41 % довша за будь-якого здрібнення, назавжди. Виміром вище — гірше. У ліхтаря Шварца всі вершини лежать на циліндрі, трикутники скільки завгодно дрібні, а повна площа прямує до істинних 2π, або до вп’ятеро більшого числа, або до нескінченності — залежно лише від того, як біжать наввипередки два здрібнення. Вирішує не розмір шматочків, а їхній нахил, і панель його вимірює.
Math
Точність купується роботою, і курс обміну — не властивість методу. Чотири правила інтегрують одну функцію, і валюта — скільки разів функцію прочитано: перегони йдуть на графіку похибки проти кількості обчислень з лінією допуску, яку ставиш ти, після твого прогнозу переможця. На гладкій функції Гауссу вистачає восьми читань до машинної точності, а трапеціям треба шістдесят п'ять тисяч; додай у функцію один злам — і всі правила високого порядку скочуються в те саме повзання. А після десяти мільйонів доданків самі додавання втрачають шість знаків.
Math
Сімнадцять груп шпалер, кожна побудована з одного-двох генераторів і прикладена до мотиву, який ти тягнеш; дзеркальні копії другим кольором, щоб повороти, відбиття і ковзні відбиття розрізнялися на око. Порядок групи, її повороти й дзеркала прочитано з елементів, а не з назви. І вісімнадцятий візерунок — ромби Пенроуза — з лічбою товстих і тонких, що прямує до золотого перетину.
Math
Додай розіграші з будь-якої форми — кубик, криву монету, два горби, довгий хвіст часу очікування — і стандартизована сума перетвориться на той самий дзвін. Одна вибірка збирається на очах і стає однією точкою серії поруч; сума, середнє й стандартизована сума — три імені цієї точки. Кумулянти суми додаються, тож асиметрія спадає як 1/√n, а ексцес — як 1/n, і аркуш вимірює обидва. І одне джерело все ламає: у Коші немає дисперсії, і дзвін не з'являється ніколи.
Деякі модулі входять до кількох Suites. Спільний експеримент має тут одну сторінку.