Dostępne dla Windows
160 interaktywnych modułów ukazuje geometrię, topologię, fraktale, analizę matematyczną, algebrę, rachunek prawdopodobieństwa i algorytmy. Obracaj powierzchnię, zmieniaj konstrukcję lub śledź algorytm krok po kroku.
160 modułów · Strona 4 / 8
Math
Przybliż gładką krzywą z pionową skalą związaną z poziomą, a wyprostuje się: to właśnie jest pochodna, a sieczna przez dwa punkty kładzie się na styczną. Potem ta sama lupa na narożnik, ostrze i krzywą, której iloraz różnicowy nie ustala się na niczym - trzy różne sposoby zawodzenia. I to, czego nikt nie mówi: w zmiennym przecinku mniejszy krok przestaje pomagać około 1e-8, a potem pogarsza wynik.
Math
Wypełnij obszar pod krzywą paskami i patrz, jak rośnie ich liczba: wszystko zależy od tego, skąd każdy pasek bierze wysokość, a trapez idący po krzywej jest dokładnie dwa razy gorszy niż prostokąt ze środkiem, który po niej nie idzie. Potem znak: całka z sinusa po okresie wynosi zero, a pole między nim a osią cztery.
Math
Zmień zmienne w całce, a pojawi się czynnik. To wyznacznik pochodnej odwzorowania: stosunek pola maleńkiej komórki do pola jej obrazu, mierzony tutaj na samych wielokątach. Znak to orientacja, a nie część czynnika, zerowy wyznacznik oznacza zapadniętą krawędź, a całka z |det J| jest polem obrazu tylko przy jednokrotnym pokryciu.
Math
Każdy inny sposób liczenia daje liczbę, która pewnie jest poprawna. Arytmetyka przedziałowa daje parę, która na pewno jest, a cały temat to jej cena. Nazywa się zależność: każde wystąpienie zmiennej liczy się jako inna zmienna, więc x − x wychodzi szerokości dwa. Otoczenie należy do WZORU, a nie do funkcji.
Math
Przetnij powierzchnię pionową płaszczyzną, a dostaniesz krzywą; jej nachylenie to pochodna w tym kierunku. Odłóż nachylenie we współrzędnych biegunowych: dla powierzchni różniczkowalnej jest to dokładnie okrąg, którego średnicą jest gradient. A jedna powierzchnia tutaj ma obie pochodne cząstkowe, pochodną kierunkową w każdym kierunku i żadnej płaszczyzny stycznej.
Math
Blisko swojego środka wielomian Taylora jest nie do odróżnienia od funkcji, a każdy dodatkowy wyraz się opłaca. Dalej psują się trzy różne rzeczy: poza promieniem zbieżności więcej wyrazów pogarsza odpowiedź bez ograniczeń, exp(−1/x²) ma szereg zbieżny wszędzie i trafny w jednym punkcie, a nawet wewnątrz promienia sumowanie może zgubić wszystkie cyfry. Promień to odległość do osobliwości, której nie ma na osi rzeczywistej.
Math
Trzy porównania pól: drewniane elementy, elastyczne arkusze i dokładny widok.
Math
Przeciągnij złoty uchwyt β, aby pochylić płaszczyznę. Wypróbuj cztery przekroje i włącz sfery Dandelina. Prawy przycisk obraca, kółko przybliża. Po prawej rzeczywiste odległości w płaszczyźnie przekroju. Ruchomy punkt mierzy ognisko/kierownica e. Okrąg ma e = 0 i nie ma skończonej kierownicy. q opisuje rzut poziomy.
Math
Rozetnij bryłę wzdłuż części krawędzi i rozłóż na płasko. Nierozcięte krawędzie muszą trzymać wszystkie ściany połączone bez pętli - drzewo rozpinające grafu ścian - i każde takie drzewo jest siatką. Bryła otwiera się na zawiasach złożonymi obrotami, pole siatki sprawdza się z polem powierzchni, każdą parę ścian przycina się, by dowieść braku nakładania, a siatki liczy się z dokładnością do symetrii bryły: dwie dla czworościanu, jedenaście dla sześcianu, jedenaście dla jego dualu.
Math
Bryła z kilkudziesięciu ścian i V − E + F odczytane po każdej zmianie: trianguluj ścianę, wstaw w nią wierzchołek, podziel lub zmaż krawędź, wytnij ścianę, zagęść wszystkie - dziennik pokazuje, co każda operacja robi z V, E i F, i że χ zmienia się tylko przy wycięciu dziury. Genus wynika z χ z podanymi warunkami: ile kawałków, ile pętli brzegowych, orientowalna czy nie - na wstędze Möbiusa wzór daje zamiast tego czapki krzyżowe.
Math
Jak wygląda czterowymiarowa bryła z wnętrza przestrzeni trójwymiarowej: tylko jako swój przekrój, a przekrój zmienia się, gdy bryła przechodzi. Tesserakt idący wierzchołkiem naprzód pokazuje czworościan, który rośnie, traci naroża, staje się ośmiościanem i kurczy się z powrotem; komórką naprzód pokazuje jeden sześcian przez całe przejście. Przekroje są budowane z przeciętych komórek, liczone, mierzone, a ich objętość scałkowana po przejściu to 4-objętość w każdej orientacji - Cavalieri o wymiar wyżej.
Math
Nad każdym punktem zwykłej sfery wisi w sferze czterowymiarowej cały okrąg, a te okręgi wypełniają ją bez reszty i nigdy się nie przecinają - a mimo to dowolne dwa z nich są zaplecione, dokładnie raz, jakkolwiek daleko od siebie leżą ich punkty. Przeciągnij punkt po małym globusie i patrz, jak jego okrąg wędruje po dużym obrazie; weź cały równoleżnik, a okręgi utkają torus. Współczynnik zaplecenia mierzy całka Gaussa, a kąt między dwoma okręgami wychodzi o połowę mniejszy niż kąt między ich punktami - i właśnie dlatego sfera Blocha kubitu ma promień jedna druga.
Math
Linia nie ma pola - a mimo to krzywa może przejść przez każdy punkt kwadratu: Peano znalazł taką w 1890 roku, Hilbert narysował swoją w 1891. W każdym rzędzie krzywa odwiedza każdą komórkę dokładnie raz, przesuwając się o jedną komórkę na krok, a granica jest ciągła. Przeciągnij znacznik: dziesiąta część krzywej mieści się mniej więcej w jednej trzeciej boku - dlatego bazy danych i formaty obrazów indeksują przestrzeń wzdłuż takiej krzywej. Odwrotność jest fałszywa, i panel to też mierzy: dwie stykające się komórki mogą dzielić pięć szóstych krzywej.
Math
Dodaj krawędź, znajdź ścieżkę między dwoma wierzchołkami i obserwuj przejście c przez jeden. Sieć i pomiary korzystają z tego samego ciągu krawędzi.
Math
Punkt odbija się bez końca wewnątrz ściany z równymi kątami. W kole kąt nigdy się nie zmienia: tor omija mniejszy okrąg, do którego nie może wejść, a obrót wymierny zamyka się w wielokąt. W stadionie - dwa półkola połączone prostymi ścianami - nie zachowuje się nic prócz prędkości, a dwa tory rozbieżne o miliardową część stopnia dzieli po dwudziestu odbiciach szerokość stołu. Panel to mierzy: rozejście dopasowuje się wykładniczą I prostą.
Math
Komputer nie potrafi podążać za trajektorią; potrafi tylko robić kroki. Zmniejszenie kroku o połowę dzieli błąd przez dwa, cztery albo szesnaście zależnie od metody - dopóki kroków nie zrobi się tyle, że zaokrąglenie przeważy i mniejszy krok pogorszy odpowiedź. Na orbicie najdokładniejsza z czterech metod i tak traci energię po prostej, podczas gdy mniej dokładna jedynie kołysze się bez końca: dokładność i szacunek dla niezmiennika to różne cnoty. A w układzie chaotycznym trajektoria jest stracona przy każdej metodzie: przeżywa atraktor.
Math
Przybliżenie może przylegać do krzywej dowolnie blisko i mieć złą długość: schody zbiegające do przekątnej są o 41 % za długie przy każdym zagęszczeniu, na zawsze. O wymiar wyżej jest gorzej. Latarnia Schwarza ma każdy wierzchołek na walcu i trójkąty dowolnie małe, a jej pole całkowite dąży do prawdziwych 2π, do pięciokrotności tego, albo do nieskończoności - zależnie wyłącznie od tego, jak ścigają się oba zagęszczenia. Decyduje nie rozmiar kawałków, lecz ich nachylenie, a panel je mierzy.
Math
Dokładność kupuje się pracą, a kurs wymiany nie jest cechą metody. Cztery reguły całkują tę samą funkcję, a walutą jest liczba odczytów funkcji: wyścig toczy się na wykresie błędu wobec liczby obliczeń z linią tolerancji, którą ustawiasz ty, po przewidzeniu zwycięzcy. Na gładkiej funkcji Gauss dochodzi do precyzji maszynowej w ośmiu odczytach, a trapezom potrzeba sześćdziesięciu pięciu tysięcy; wstaw w funkcję jedno załamanie, a każda reguła wysokiego rzędu wpada w to samo pełzanie. A po dziesięciu milionach składników same dodawania tracą sześć cyfr.
Math
Siedemnaście grup tapetowych, każda zbudowana z jednego lub dwóch generatorów i przyłożona do motywu, który przeciągasz; kopie odbite w drugim kolorze, by obroty, odbicia i odbicia z poślizgiem dało się rozróżnić gołym okiem. Rząd grupy, jej obroty i lustra odczytane z elementów, nie z nazwy. I osiemnasty wzór - romby Penrose'a - z liczbą grubych i cienkich zmierzającą do złotej liczby.
Math
Dodawaj losowania z dowolnego kształtu - kostkę, fałszywą monetę, dwa garby, długi ogon czasu oczekiwania - a standaryzowana suma zmieni się w ten sam dzwon. Jedna próbka zbiera się na oczach i staje się jednym punktem serii obok; suma, średnia i standaryzowana suma to trzy nazwy tego punktu. Kumulanty sumy się dodają, więc skośność maleje jak 1/√n, a kurtoza nadwyżkowa jak 1/n, i arkusz mierzy obie. Jedno źródło wszystko psuje: rozkład Cauchy'ego nie ma wariancji i dzwon nigdy się nie pojawia.
Niektóre moduły należą do kilku Suites. Każdy wspólny eksperyment ma tutaj jeden opis.